Os números reais x e y satisfazem a equação 2^{x+1}+2^{x}=3^{y+2}-3^{y}. Calcule o valor de x^{2}+y

Passo 1

O enunciado dá a equação envolvendo números reais x e y:
2^{x+1} + 2^x = 3^{y+2} - 3^y
O conteúdo é manipulação de potências. Para resolver, vamos reescrever cada lado de modo a extrair um fator em comum.

Passo 2

No lado esquerdo, fatoramos 2^x:
2^{x+1} + 2^x = 2^x\bigl(2 + 1\bigr) = 3\cdot 2^x.
No lado direito, fatoramos 3^y:
3^{y+2} - 3^y = 3^y\bigl(3^2 - 1\bigr) = 8\cdot 3^y.
Assim a equação vira
3\cdot 2^x = 8\cdot 3^y.

Passo 3

Como x e y devem ser tais que ambos os lados sejam potências inteiras, restringimos a busca a inteiros. Dividindo por 3,
2^x = \frac{8}{3}\;3^y = 8\cdot 3^{\,y-1}.
Para o lado direito ser potência de 2, é preciso que 8\cdot 3^{\,y-1} seja potência de 2 inteira. Note que 3^{\,y-1} é inteiro só se y-1\ge0, e para 8\cdot3^{\,y-1} ser potência de 2, deve valer 3^{\,y-1}=1. Logo
3^{\,y-1} = 1 \implies y - 1 = 0 \implies y = 1,
e daí
2^x = 8\cdot3^0 = 8 \implies x=3.

Passo 4

Com x=3 e y=1, calculamos
x^2 + y = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10.

Resposta

10

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