Resolva as seguintes equações diferenciais não homogêneas usando o método dos coeficientes a determinar ou o método da variação dos parâmetros:
a) y^prime prime+2 y^prime=3+4 sen(2 x).
b) y^prime prime-2 y^prime+y=e^x /(1+x^2).

Passo 1

O enunciado pede para resolver duas equações diferenciais lineares não homogêneas de segunda ordem: a) com termos constantes e trigonométricos no segundo membro e b) com termo não-elementar. Vamos usar coeficientes a determinar em (a) e variação dos parâmetros em (b).

Passo 2

Para a) primeiro achamos a solução geral da homogênea associada y''+2y'=0. A equação característica é r^2+2r=0, com raízes r=0 e r=-2. Logo
yh(x)=C1 + C2 e^-2x

Passo 3

Em seguida, determinamos particular para o termo constante 3. Como r=0 já é raiz simples, tentamos yp1=Ax. Calculamos y'p1=A e y''p1=0. Substituindo em y''+2y'=3
0 + 2A =3 ,Rightarrow A=tfrac32

Passo 4

Para o termo 4sin(2x), tentamos yp2=acos(2x)+bsin(2x). Calculando derivadas e substituindo em y''+2y'=4sin(2x) obtemos o sistema
-4a+4b=0, -4b-4a=4

Passo 5

Resolvendo surge a=-tfrac12 e b=-tfrac12, logo

Passo 6

A solução geral de (a) é a soma:

Passo 7

Para b) começamos pela homogênea y''-2y'+y=0. A característica é (r-1)^2=0, raiz dupla r=1, então
yh(x)=C1 e^x + C2 x e^x

Passo 8

Usamos variação dos parâmetros. Tomamos y1=e^x e y2=x e^x. O Wronskiano é
W=e^x & x e^x e^x & (1+x)e^x=e^2x

Passo 9

As fórmulas dão
u1=-integral y2,g(x)W,dx = -integral x e^x cdot e^x1+x^2e^2xdx = -integral x1+x^2dx = -tfrac12ln(1+x^2),

Passo 10

u2=integral y1,g(x)W,dx = integral e^x cdot e^x1+x^2e^2xdx = integral 11+x^2dx = arctan x

Passo 11

O particular fica
yp = u1 y1 + u2 y2 = -tfrac12ln(1+x^2)e^x + xarctan x,e^x

Passo 12

Logo a solução geral de (b) é

Resposta

a) y(x)=C1 + C2 e^-2x + tfrac32x - tfrac12l(cos(2x)+sin(2x).\ b) y(x)=C1 e^x + C2 x e^x + e^xl(xarctan x - tfrac12ln(1+x^2).

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