Resolva as seguintes equações diferenciais não homogêneas usando o método dos coeficientes a determinar ou o método da variação dos parâmetros:
a) .
b) .
Passo 1
O enunciado pede para resolver duas equações diferenciais lineares não homogêneas de segunda ordem: a) com termos constantes e trigonométricos no segundo membro e b) com termo não-elementar. Vamos usar coeficientes a determinar em (a) e variação dos parâmetros em (b).
Passo 2
Para a) primeiro achamos a solução geral da homogênea associada . A equação característica é , com raízes e . Logo
Passo 3
Em seguida, determinamos particular para o termo constante . Como já é raiz simples, tentamos . Calculamos e . Substituindo em dá
Passo 4
Para o termo , tentamos . Calculando derivadas e substituindo em obtemos o sistema
Passo 5
Resolvendo surge e , logo
Passo 6
A solução geral de (a) é a soma:
Passo 7
Para b) começamos pela homogênea . A característica é , raiz dupla , então
Passo 8
Usamos variação dos parâmetros. Tomamos e . O Wronskiano é