Resolva a equação f(x)=0 onde f(x)=\operatorname{det}(A-x I) e a matriz A é a seguinte:
\left(\begin{array}{ccc}5 & 6 & -3 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1\end{array}\right);

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação f(x)=0 com
f(x)=\det(A-xI)
onde a matriz A é
A=\begin{pmatrix}5 & 6 & -3 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1\end{pmatrix}.
Resumo claro do que foi dado e do que se pede:
  • Dado: a matriz A com entradas explícitas acima.
  • Pedido: encontrar todos os valores de x tais que \det(A-xI)=0.

Passo 2

Breve aula sobre o que vamos calcular (sem usar jargões difíceis):
  • A expressão \det(A-xI) é o polinômio característico de A. Para uma matriz 3\times3 esse polinômio é um cúbico em x.
  • Para resolver a equação \det(A-xI)=0 precisamos calcular explicitamente o determinante da matriz A-xI e então achar as raízes do polinômio resultante.
  • Vou calcular o determinante expandindo pela primeira linha (método padrão): cada termo é o elemento da primeira linha vezes o determinante do menor 2\times2 correspondente, com o sinal de cofator.

Passo 3

Escrevendo a matriz A-xI:
A-xI=\begin{pmatrix}5-x & 6 & -3 \\\\ -1 & -x & 1 \\\\ 1 & 2 & 1-x\end{pmatrix}.

Passo 4

Expandindo o determinante pela primeira linha (lembre: sinais (+,-,+) para a primeira linha):
\det(A-xI)=(5-x)\det\begin{pmatrix}-x & 1 \\[4pt] 2 & 1-x\end{pmatrix} -6\det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 1 & 1-x\end{pmatrix} +(-3)\det\begin{pmatrix}-1 & -x \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
Aqui cada \det é de uma matriz 2\times2; agora calculamos esses determinantes menores passo a passo.]

Passo 5

Calcular os determinantes 2\times2 (regra: \det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc):
  1. Primeiro menor:
\det\begin{pmatrix}-x & 1 \\[4pt] 2 & 1-x\end{pmatrix}=(-x)(1-x)-1\cdot 2 = -x(1-x)-2 = x^2-x-2.
  1. Segundo menor:
\det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 1 & 1-x\end{pmatrix}=(-1)(1-x)-1\cdot 1 = -1 + x -1 = x-2.
  1. Terceiro menor:
\det\begin{pmatrix}-1 & -x \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}=(-1)\cdot 2 - (-x)\cdot 1 = -2 + x = x-2.
Observação útil: os dois últimos menores deram o mesmo valor x-2; isso simplifica a soma final.]

Passo 6

Substituindo esses resultados na expansão do determinante:
\det(A-xI)=(5-x)(x^2-x-2)-6(x-2)-3(x-2).
Juntando os termos com (x-2) (note que -6(x-2)-3(x-2)=-9(x-2)):
\det(A-xI)=(5-x)(x^2-x-2)-9(x-2).
Agora expandimos e simplificamos cuidadosamente:
(5-x)(x^2-x-2)=5x^2-5x-10 -\bigl(x^3-x^2-2x\bigr) = -x^3+6x^2-3x-10.
Subtraindo 9(x-2)=9x-18 (lembrando do sinal):
\det(A-xI)=-x^3+6x^2-3x-10 -9x +18 = -x^3+6x^2-12x+8.
Colocando um fator -1 em evidência:
\det(A-xI)=-(x^3-6x^2+12x-8).
Repare que o polinômio dentro do parêntese é exatamente (x-2)^3. Para confirmar, expandimos (x-2)^3:
(x-2)^3 = x^3 -3\cdot2 x^2 +3\cdot 2^2 x -2^3 = x^3-6x^2+12x-8.
Portanto
\det(A-xI)=-(x-2)^3.

Passo 7

Resolvendo a equação \det(A-xI)=0:
-(x-2)^3=0 \quad\Longrightarrow\quad (x-2)^3=0 \quad\Longrightarrow\quad x=2.
Esse é um zero de multiplicidade 3 (raiz tripla). Como verificação rápida: a soma das raízes (contadas com multiplicidade) é 3\cdot 2=6, que coincide com a traça de A (soma dos elementos da diagonal: 5+0+1=6); e o produto das raízes é 2^3=8, que coincide com \det A (avaliando \det(A-xI) em x=0 8). Essas checagens reforçam que o cálculo está consistente.

Resposta

x=2 (multiplicidade 3).

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