Resolva a equação f(x)=0 onde f(x)=\operatorname{det}(A-x I) e a matriz A é a seguinte: \left(\begin{array}{ccc}5 & 6 & -3 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1\end{array}\right);
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação f(x)=0 com
Pedido: encontrar todos os valores de x tais que \det(A-xI)=0.
Passo 2
Breve aula sobre o que vamos calcular (sem usar jargões difíceis):
A expressão \det(A-xI) é o polinômio característico de A. Para uma matriz 3\times3 esse polinômio é um cúbico em x.
Para resolver a equação \det(A-xI)=0 precisamos calcular explicitamente o determinante da matriz A-xI e então achar as raízes do polinômio resultante.
Vou calcular o determinante expandindo pela primeira linha (método padrão): cada termo é o elemento da primeira linha vezes o determinante do menor 2\times2 correspondente, com o sinal de cofator.
Esse é um zero de multiplicidade 3 (raiz tripla). Como verificação rápida: a soma das raízes (contadas com multiplicidade) é 3\cdot 2=6, que coincide com a traça de A (soma dos elementos da diagonal: 5+0+1=6); e o produto das raízes é 2^3=8, que coincide com \det A (avaliando \det(A-xI) em x=0 dá 8). Essas checagens reforçam que o cálculo está consistente.