Resolva a equação f(x)=0 onde f(x)=\operatorname{det}(A-x I) e a matriz A é a seguinte: \left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right);
Passo 1
O que o problema pede e o que nos foi dado.
Pede-se resolver a equação f(x)=0, onde f(x)=\operatorname{det}(A-xI).
Observação útil: a matriz obtida é em bloco, com um bloco 2\times2 no canto superior-esquerdo e um bloco 1\times1 na posição (3,3). Para uma matriz em bloco diagonal desse tipo, o determinante é o produto dos determinantes dos blocos. Mais diretamente, podemos desenvolver pelo terceiro linha/coluna: o determinante é (1-x) vezes o determinante do 2\times2 residual.
Fatorar o polinômio e identificar as raízes e multiplicidades.
Primeiro fatoramos x^2-1 como diferença de quadrados:
x^2-1=(x-1)(x+1).
Assim
f(x)=(x-1)(x+1)(1-x).
Note que (1-x)=-(x-1). Logo
f(x)=-(x-1)^2(x+1).
Isso mostra claramente as raízes e suas ordens (multiplicidades):
x=1 é raiz de multiplicidade 2 (porque aparece o fator (x-1)^2);
x=-1 é raiz de multiplicidade 1.
Um pequeno comentário didático sobre multiplicidade: se um polinômio tem um fator (x-a)^k, diz-se que a é uma raiz de multiplicidade k; em termos de autovalores, x=1 será um autovalor com multiplicidade algébrica 2.
Passo 5
Conferência rápida (opcional, para ficar mais confiante).
Se x=1, a matriz A-I tem terceira linha/coluna nula na posição diagonal e o bloco 2\times2 torna-se \begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1&-1\end{pmatrix}, que é singular; portanto determinante zero — conferido.
Se x=-1, o bloco 2\times2 vira \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1&1\end{pmatrix} que também é singular? Na verdade esse bloco tem determinante 1\cdot1-1\cdot1=0, então \det(A-(-1)I)=0 — conferido também.