Resolva a equação f(x)=0 onde f(x)=\operatorname{det}(A-x I) e a matriz A é a seguinte:
\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right);

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado.
  • Pede-se resolver a equação f(x)=0, onde f(x)=\operatorname{det}(A-xI).
  • A matriz A fornecida é
A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
  • Aqui I é a matriz identidade 3\times3 e x é a variável escalar (procuramos os valores de x que anulam o determinante).
  • Em palavras: devemos calcular o polinômio característico de A, f(x)=\det(A-xI), e encontrar suas raízes (os valores de x tais que f(x)=0).]

Passo 2

Formar a matriz A-xI.
  • A matriz identidade I tem 1 na diagonal e 0 nos outros elementos. Subtraindo xI de A obtém-se
A-xI=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}x & 0 & 0 \\[4pt] 0 & x & 0 \\[4pt] 0 & 0 & x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-x & 1 & 0 \\[4pt] 1 & -x & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1-x\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular o determinante f(x)=\det(A-xI).
  • Observação útil: a matriz obtida é em bloco, com um bloco 2\times2 no canto superior-esquerdo e um bloco 1\times1 na posição (3,3). Para uma matriz em bloco diagonal desse tipo, o determinante é o produto dos determinantes dos blocos. Mais diretamente, podemos desenvolver pelo terceiro linha/coluna: o determinante é (1-x) vezes o determinante do 2\times2 residual.
  • O bloco 2\times2 é
\begin{pmatrix}-x & 1 \\[4pt] 1 & -x\end{pmatrix}.
  • Fórmula básica: para uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}, tem-se \det = ad-bc. Aplicando com a=-x, b=1, c=1, d=-x:
\det\begin{pmatrix}-x & 1 \\[4pt] 1 & -x\end{pmatrix}=(-x)(-x)-1\cdot1 = x^2-1.
  • Portanto
f(x)=\det(A-xI)=(x^2-1)(1-x).]

Passo 4

Fatorar o polinômio e identificar as raízes e multiplicidades.
  • Primeiro fatoramos x^2-1 como diferença de quadrados:
x^2-1=(x-1)(x+1).
  • Assim
f(x)=(x-1)(x+1)(1-x).
  • Note que (1-x)=-(x-1). Logo
f(x)=-(x-1)^2(x+1).
  • Isso mostra claramente as raízes e suas ordens (multiplicidades):
    • x=1 é raiz de multiplicidade 2 (porque aparece o fator (x-1)^2);
    • x=-1 é raiz de multiplicidade 1.
  • Um pequeno comentário didático sobre multiplicidade: se um polinômio tem um fator (x-a)^k, diz-se que a é uma raiz de multiplicidade k; em termos de autovalores, x=1 será um autovalor com multiplicidade algébrica 2.

Passo 5

Conferência rápida (opcional, para ficar mais confiante).
  • Se x=1, a matriz A-I tem terceira linha/coluna nula na posição diagonal e o bloco 2\times2 torna-se \begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1&-1\end{pmatrix}, que é singular; portanto determinante zero — conferido.
  • Se x=-1, o bloco 2\times2 vira \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1&1\end{pmatrix} que também é singular? Na verdade esse bloco tem determinante 1\cdot1-1\cdot1=0, então \det(A-(-1)I)=0 — conferido também.

Resposta

x=-1
x=1 (multiplicidade 2)

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