Explicar como calcular o determinante de uma matriz 2\times2: para
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
temos
\det\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc,
onde a,b,c,d são os elementos da matriz. Aqui a=3-x, b=4, c=5, d=2-x. Então
f(x)=\det(A-xI)=(3-x)(2-x)-4\cdot 5.]
Passo 3
Calcular e simplificar f(x). Primeiro expandir o produto:
(3-x)(2-x)=3\cdot2-3x-2x+x^2=6-5x+x^2.
Subtrair 4\cdot5=20:
f(x)=6-5x+x^2-20=x^2-5x-14.
Portanto a equação que precisamos resolver é
x^2-5x-14=0.
Passo 4
Resolver a equação quadrática x^2-5x-14=0. Podemos tentar fatorar: procuramos dois números inteiros cujo produto seja -14 e cuja soma seja -5. Esses números são -7 e 2, pois (-7)\cdot 2=-14 e (-7)+2=-5. Assim
x^2-5x-14=(x-7)(x+2).
Para que o produto seja zero, basta que um dos fatores seja zero:
x-7=0\quad\text{ou}\quad x+2=0,
logo
x=7\quad\text{ou}\quad x=-2.
Passo 5
Verificação rápida pelo método da fórmula de Bhaskara (checa opcional): para ax^2+bx+c=0 com a=1, b=-5, c=-14,