Resolva a equação f(x)=0 onde f(x)=\operatorname{det}(A-x I) e a matriz A é a seguinte:
\left(\begin{array}{ll}3 & 4 \\\\ 5 & 2\end{array}\right);

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação f(x)=0, onde f(x)=\det(A-xI) e a matriz A dada é
A=\begin{pmatrix}3 & 4 \\[4pt] 5 & 2\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função f é o determinante da matriz A-xI.
  • A matriz identidade I em dimensão 2 é
I=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
A tarefa é calcular f(x) (ou seja, \det(A-xI)) e então encontrar todos os x tais que f(x)=0.]

Passo 2

Construir a matriz A-xI. Subtrair x dos elementos diagonais de A:
A-xI=\begin{pmatrix}3-x & 4 \\[4pt] 5 & 2-x\end{pmatrix}.
Explicar como calcular o determinante de uma matriz 2\times2: para
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
temos
\det\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc,
onde a,b,c,d são os elementos da matriz. Aqui a=3-x, b=4, c=5, d=2-x. Então
f(x)=\det(A-xI)=(3-x)(2-x)-4\cdot 5.]

Passo 3

Calcular e simplificar f(x). Primeiro expandir o produto:
(3-x)(2-x)=3\cdot2-3x-2x+x^2=6-5x+x^2.
Subtrair 4\cdot5=20:
f(x)=6-5x+x^2-20=x^2-5x-14.
Portanto a equação que precisamos resolver é
x^2-5x-14=0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática x^2-5x-14=0. Podemos tentar fatorar: procuramos dois números inteiros cujo produto seja -14 e cuja soma seja -5. Esses números são -7 e 2, pois (-7)\cdot 2=-14 e (-7)+2=-5. Assim
x^2-5x-14=(x-7)(x+2).
Para que o produto seja zero, basta que um dos fatores seja zero:
x-7=0\quad\text{ou}\quad x+2=0,
logo
x=7\quad\text{ou}\quad x=-2.

Passo 5

Verificação rápida pelo método da fórmula de Bhaskara (checa opcional): para ax^2+bx+c=0 com a=1, b=-5, c=-14,
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{5\pm\sqrt{25+56}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{81}}{2}=\frac{5\pm9}{2},
que dá x=7 e x=-2, confirmando os valores obtidos.

Resposta

x=7
x=-2

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