Resolva as equações diferenciais abaixo, utilizando a transformada de Laplace:
y^{\prime}-5 y=0, \operatorname{com} y(\pi)=2.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial em um ponto não-zero. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido:
  • Equação diferencial: y' - 5y = 0.
  • Condição dada: y(\pi)=2.
    O objetivo é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação e a condição. Vamos resolver usando a transformada de Laplace, mantendo a condição como está e usando y(0) como incógnita temporária, que será determinada depois com y(\pi)=2.

Passo 2

O que é a transformada de Laplace e a propriedade que vamos usar:
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
  • Se denotarmos Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, então a propriedade para a derivada é
\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0).
Aqui s é a variável do domínio da transformada e y(0) é o valor inicial de y em t=0. Vamos aplicar \mathcal{L}\{\cdot\} na equação diferencial inteira; por enquanto y(0) fica como incógnita.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace na equação y' - 5y = 0:
\mathcal{L}\{y'\} - 5\mathcal{L}\{y\} = 0.
Usando a propriedade da derivada e Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} obtemos
\bigl(sY(s) - y(0)\bigr) - 5Y(s) = 0.
Agrupando termos em Y(s):
(s-5)Y(s) - y(0) = 0.
Isolando Y(s) temos
Y(s) = \frac{y(0)}{s-5}.

Passo 4

Inversão da transformada para voltar a y(t):
  • Lembrando a transformada inversa padrão \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s-a}\right\}=e^{at}, com a constante, podemos identificar a forma em Y(s).
    Aplicando a transformada inversa:
y(t) = \mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{y(0)}{s-5}\right\} = y(0)\,e^{5t}.
Aqui ficou explícito que a solução geral obtida por Laplace contém a constante y(0), que ainda precisa ser determinada pela condição dada em t=\pi.

Passo 5

Usar a condição y(\pi)=2 para determinar y(0). Substituindo t=\pi na expressão y(t)=y(0)e^{5t}:
y(\pi)=y(0)e^{5\pi}=2.
Isolando y(0):
y(0)=2e^{-5\pi}.

Passo 6

Substituir y(0) na solução geral para obter a solução particular:
y(t)=y(0)e^{5t}=2e^{-5\pi}e^{5t}=2e^{5(t-\pi)}.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): calcular y' - 5y para a solução encontrada.
  • Derivando y(t)=2e^{5(t-\pi)}:
y'(t)=2\cdot 5 e^{5(t-\pi)}=10e^{5(t-\pi)}.
  • Então
y'(t)-5y(t)=10e^{5(t-\pi)}-5\cdot 2e^{5(t-\pi)}=10e^{5(t-\pi)}-10e^{5(t-\pi)}=0,
portanto a equação é satisfeita. Também y(\pi)=2e^{5(\pi-\pi)}=2, então a condição inicial é satisfeita.

Resposta

y(t)=2e^{5(t-\pi)}

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