Resolva as equações diferenciais abaixo, utilizando a transformada de Laplace:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial em um ponto não-zero. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido:
- Equação diferencial:
. - Condição dada:
.
O objetivo é encontrar a funçãoque satisfaz a equação e a condição. Vamos resolver usando a transformada de Laplace, mantendo a condição como está e usando como incógnita temporária, que será determinada depois com .
Passo 2
O que é a transformada de Laplace e a propriedade que vamos usar:
- A transformada de Laplace de uma função
é definida por
- Se denotarmos
, então a propriedade para a derivada é
Aqui
é a variável do domínio da transformada e
é o valor inicial de
em
. Vamos aplicar
na equação diferencial inteira; por enquanto
fica como incógnita.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace na equação
:
Usando a propriedade da derivada e
obtemos
Agrupando termos em
:
Isolando
temos
Passo 4
Inversão da transformada para voltar a
:
- Lembrando a transformada inversa padrão
, com constante, podemos identificar a forma em .
Aplicando a transformada inversa:
Aqui ficou explícito que a solução geral obtida por Laplace contém a constante
, que ainda precisa ser determinada pela condição dada em
.
Passo 5
Usar a condição
para determinar
. Substituindo
na expressão
:
Isolando
:
Passo 6
Substituir
na solução geral para obter a solução particular:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): calcular
para a solução encontrada.
- Derivando
:
- Então
portanto a equação é satisfeita. Também
, então a condição inicial é satisfeita.