Resolva a equação homogênea e calcule o Wronskiano das soluções.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO homogênea
e calcular o wronskiano das soluções encontradas. Aqui vamos usar o método do polinômio característico para obter a solução geral e depois a propriedade de EDO de coeficientes constantes que nos dá o wronskiano.
Passo 2
Escrevemos o polinômio característico associado:
Logo temos o fator
e precisamos fatorar o cúbico
.
Passo 3
Testando
em
dá
, logo
é fator. Fazendo a divisão sintética ou polinomial, obtemos
Portanto as raízes são
Passo 4
Pela teoria de EDOs de coeficientes constantes, cada raiz real
dá
e cada raiz complexa conjugada
dá
e
. Como as raízes são
(tripla),
(simples) e
(simples), as seis soluções fundamentais são
Passo 5
A solução geral da EDO é
com
constantes arbitrárias.
Passo 6
Para uma EDO linear de ordem
com coeficientes constantes e polinômio característico com raízes
, o wronskiano das soluções fundamentais é
Aqui
e
.
Passo 7
Logo o wronskiano vale
onde
é a constante determinada pelo valor inicial do determinante das soluções e suas derivadas em
.
Resposta
A solução geral é
O wronskiano das seis soluções fundamentais é
com
constante não nula.