Resolva a equação homogênea e calcule o Wronskiano das soluções.
(D-4)^{3}\left(D^{3}-D^{2}+D-1\right) y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO homogênea
(D-4)^{3}\bigl(D^{3}-D^{2}+D-1\bigr)y=0
e calcular o wronskiano das soluções encontradas. Aqui vamos usar o método do polinômio característico para obter a solução geral e depois a propriedade de EDO de coeficientes constantes que nos dá o wronskiano.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico associado:
(r-4)^{3}\bigl(r^{3}-r^{2}+r-1\bigr)=0.
Logo temos o fator (r-4)^{3} e precisamos fatorar o cúbico r^{3}-r^{2}+r-1.

Passo 3

Testando r=1 em r^{3}-r^{2}+r-1 1-1+1-1=0, logo (r-1) é fator. Fazendo a divisão sintética ou polinomial, obtemos
r^{3}-r^{2}+r-1=(r-1)(r^{2}+1).
Portanto as raízes são
r=4\quad(\text{multiplicidade }3),\quad r=1,\quad r=\pm i.

Passo 4

Pela teoria de EDOs de coeficientes constantes, cada raiz real r e^{rt} e cada raiz complexa conjugada \alpha\pm i\beta \mathrm e^{\alpha t}\cos(\beta t) e \mathrm e^{\alpha t}\sin(\beta t). Como as raízes são \;4 (tripla), 1 (simples) e \pm i (simples), as seis soluções fundamentais são
e^{4t},\quad t\,e^{4t},\quad t^{2}e^{4t},\quad e^{t},\quad \cos t,\quad \sin t.

Passo 5

A solução geral da EDO é
y(t)=C_{1}e^{4t}+C_{2}\,t\,e^{4t}+C_{3}\,t^{2}e^{4t} +C_{4}e^{t}+C_{5}\cos t+C_{6}\sin t,
com C_{1},\dots,C_{6} constantes arbitrárias.

Passo 6

Para uma EDO linear de ordem n com coeficientes constantes e polinômio característico com raízes r_{1},\dots,r_{n}, o wronskiano das soluções fundamentais é
W(t)=W(0)\exp\Bigl(\sum_{j=1}^{n}r_{j}\,t\Bigr).
Aqui n=6 e \sum r_{j}=4+4+4+1+i+(-i)=13.

Passo 7

Logo o wronskiano vale
W(t)=K\,e^{13t},
onde K=W(0)\neq 0 é a constante determinada pelo valor inicial do determinante das soluções e suas derivadas em t=0.

Resposta

A solução geral é
y(t)=C_{1}e^{4t}+C_{2}\,t\,e^{4t}+C_{3}\,t^{2}e^{4t} +C_{4}e^{t}+C_{5}\cos t+C_{6}\sin t.
O wronskiano das seis soluções fundamentais é
W(t)=K\,e^{13t},
com K constante não nula.

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