Resolva a equação homogênea e calcule o Wronskiano das soluções.
x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+5 y=0 \quad x>0

Passo 1

Estamos diante de uma equação de Cauchy–Euler
x^{2}y''-x\,y'+5y=0,\qquad x>0.
Para resolvê-la, vamos usar o ansatz y=x^{r}, que transforma a DE em uma equação algébrica para r. Depois, encontraremos duas soluções reais independentes e, por fim, calcularemos o wronskiano dessas soluções.

Passo 2

Supondo y=x^{r}, temos
y' = r\,x^{r-1}, \qquad y'' = r(r-1)\,x^{r-2}.
Substituindo na equação original:
x^{2}\bigl[r(r-1)x^{r-2}\bigr]\;-\;x\bigl[r\,x^{r-1}\bigr]\;+\;5\,x^{r}=0
que simplifica para
r(r-1)-r+5=0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2}-2r+5=0.
As raízes são complexas:
r = \frac{2\pm\sqrt{4-20}}{2} = 1\pm2\,i.

Passo 3

Para raízes r=1\pm2i, a solução geral real fica
y(x) = C_{1}\,x^{1}\cos\bigl(2\ln x\bigr)\;+\;C_{2}\,x^{1}\sin\bigl(2\ln x\bigr),
ou seja
\boxed{y(x)=x\bigl[C_{1}\cos(2\ln x)+C_{2}\sin(2\ln x)\bigr].}

Passo 4

Escolhendo
y_{1}(x)=x\cos(2\ln x), \quad y_{2}(x)=x\sin(2\ln x),
calculamos as derivadas:
y_{1}' = \cos(2\ln x)\;-\;2\,\sin(2\ln x), \quad y_{2}' = \sin(2\ln x)\;+\;2\,\cos(2\ln x).
O wronskiano é
W(y_{1},y_{2})(x) = \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\[6pt] y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = y_{1}\,y_{2}' - y_{2}\,y_{1}' = x\cos(2\ln x)\bigl[\sin(2\ln x)+2\cos(2\ln x)\bigr] - x\sin(2\ln x)\bigl[\cos(2\ln x)-2\sin(2\ln x)\bigr].
Agrupando termos:
W = x\bigl[\cos\sin +2\cos^{2} - \sin\cos +2\sin^{2}\bigr] =2\,x\bigl[\cos^{2}+\sin^{2}\bigr] =2\,x.]

Resposta

A solução geral é
y(x)=x\bigl[C_{1}\cos(2\ln x)+C_{2}\sin(2\ln x)\bigr],
e o wronskiano das duas soluções fundamentais é
W(y_{1},y_{2})(x)=2\,x.

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