Resolva a equação homogênea e calcule o Wronskiano das soluções.
x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+4 y=0 \quad x>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO homogênea do tipo Cauchy–Euler
x^{2}y''-3x\,y'+4y=0,\quad x>0.
Nessas equações, usamos o ansatz y=x^{r}, pois as derivadas ficam proporcionais a potências de x.

Passo 2

Supondo y=x^{r} obtemos
y'=r\,x^{r-1},\qquad y''=r(r-1)\,x^{r-2}.
Substituindo na equação:
x^{2}\bigl[r(r-1)x^{r-2}\bigr]-3x\bigl[r\,x^{r-1}\bigr]+4x^{r} =\bigl[r(r-1)-3r+4\bigr]x^{r}=0.
A equação característica é
r(r-1)-3r+4=0\;\Longrightarrow\;(r-2)^{2}=0,
cuja raiz dupla é r=2.

Passo 3

Para raiz dupla r=2, a teoria de Euler–Cauchy diz que as soluções fundamentais são
y_{1}(x)=x^{2}, \qquad y_{2}(x)=x^{2}\ln(x).

Passo 4

Calculamos o Wronskiano das soluções y_{1} e y_{2}:
y_{1}'=2x, \qquad y_{2}'=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\ln x\bigr)=2x\ln x+x.
Assim
W(y_{1},y_{2}) =\begin{vmatrix} x^{2} & x^{2}\ln x\\[6pt] 2x & 2x\ln x+x \end{vmatrix} =x^{2}(2x\ln x+x)-2x\cdot x^{2}\ln x =x^{3}.]

Resposta

A solução geral é
y(x)=C_{1}\,x^{2}+C_{2}\,x^{2}\ln(x),
e o Wronskiano vale
W(y_{1},y_{2})=x^{3}.

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