Resolva a equação homogênea e calcule o Wronskiano das soluções.
x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+\frac{3}{4} y=0 \quad x>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação homogênea
x^{2}y'' - x y' + \tfrac{3}{4}y = 0,\quad x>0
e calcular o Wronskiano das duas soluções independentes.
Este é um caso clássico de equação de Euler–Cauchy, em que usamos o ansatz
y = x^r
para transformar a EDO numa equação algébrica em r.

Passo 2

Assumimos y = x^r. Então
y' = r x^{r-1}, \quad y'' = r(r-1)x^{r-2}.
Substituindo em
x^{2}y'' - x y' + \tfrac34 y = 0
obtém-se
x^{2}\bigl[r(r-1)x^{r-2}\bigr] \;-\; x\bigl[r x^{r-1}\bigr] \;+\; \tfrac34\,x^r = 0.

Passo 3

Simplificando as potências de x e fatorando x^r\neq0, vem
r(r-1) - r + \tfrac34 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^2 -2r + \tfrac34 = 0.
Resolvendo a equação característica:
r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 3}}{2} = \frac{2 \pm 1}{2},
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r_1 = \tfrac32, \quad r_2 = \tfrac12.

Passo 4

As duas soluções fundamentais são
y_1(x) = x^{3/2}, \quad y_2(x) = x^{1/2},
e a solução geral fica
y(x) = C_1\,x^{3/2} + C_2\,x^{1/2}.

Passo 5

Para o Wronskiano W(y_1,y_2) usamos
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\[6pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix}.
Calculando:
y_1' = \tfrac32\,x^{1/2}, \quad y_2' = \tfrac12\,x^{-1/2},
então
W = \begin{vmatrix} x^{3/2} & x^{1/2} \\[4pt] \tfrac32\,x^{1/2} & \tfrac12\,x^{-1/2} \end{vmatrix} = x^{3/2}\cdot\tfrac12\,x^{-1/2} \;-\; x^{1/2}\cdot\tfrac32\,x^{1/2} = \tfrac12\,x - \tfrac32\,x = -\,x.]

Resposta

A solução geral é
y(x) = C_1\,x^{3/2} + C_2\,x^{1/2},
e o Wronskiano das soluções escolhidas é
W(y_1,y_2)(x) = -\,x.

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