Resolva as equações:
d^2 yd t^2-2 d yd t+5 y=3 cos t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'' - 2y' + 5y = 3cos t
que é linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Vamos usar a solução geral da parte homogênea e depois encontrar um particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' - 2y' + 5y = 0
A equação característica é r^2 - 2r + 5 = 0, cujas raízes são r = 1 pm 2i. Assim a solução homogênea é
yh(t) = e^tl(C1cos(2t) + C2sin(2t)r)

Passo 3

Para a parte particular, como o termo forçante é 3cos t, supomos
yp(t) = Acos t + Bsin t
Então
yp' = -Asin t + Bcos t, yp'' = -Acos t - Bsin t
Substituindo na equação original e agrupando, obtemos
(4A - 2B)cos t + (2A + 4B)sin t = 3cos t + 0sin t
Resolvendo o sistema
4A - 2B = 3, 2A + 4B = 0
vem A = tfrac35 e B = -tfrac310. Logo
yp(t) = 35cos t - 310sin t

Passo 4

A solução geral da EDO é a soma das partes homogênea e particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = e^tl(C1cos(2t) + C2sin(2t)r) + 35cos t - 310sin t

Resposta

y(t) = e^tl(C1cos(2t) + C2sin(2t)r) + 35cos t - 310sin t

Exercícios relacionados