Resolva os PVI’s
y^{\prime \prime}+4 y=t^{2}+3 e^{t}, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y'' + 4y = t^2 + 3e^t,\quad y(0)=0,\;y'(0)=2.
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, obtendo primeiro a solução homogênea y_h e depois uma solução particular y_p.

Passo 2

A parte homogênea satisfaz
y'' + 4y = 0.
A equação característica é
r^2 + 4 = 0 \;\longrightarrow\; r = \pm 2i.
Logo a solução homogênea é
y_h = C_1\cos(2t) + C_2\sin(2t).

Passo 3

Para a parte particular, note que o termo fonte é t^2 + 3e^t. Usamos superposição:
(i) Para t^2, tentamos
y_{p1} = At^2 + Bt + C.
Então
y_{p1}'' = 2A, \quad y_{p1}'' + 4y_{p1} =2A + 4(At^2+Bt+C) =4A\,t^2 +4B\,t + (2A+4C).
Igualando a t^2 obtemos o sistema
4A = 1,\quad 4B = 0,\quad 2A+4C = 0 \;\Longrightarrow\; A=\tfrac14,\;B=0,\;C=-\tfrac18.
Logo
y_{p1} = \tfrac14 t^2 - \tfrac18.
(ii) Para 3e^t, tentamos
y_{p2} = D e^t \;\Longrightarrow\; y_{p2}''+4y_{p2} = (1+4)D e^t = 5D e^t = 3e^t \;\Longrightarrow\; D = \tfrac35.
Assim
y_{p2} = \tfrac35 e^t,
e a solução particular é
y_p = \tfrac14 t^2 - \tfrac18 + \tfrac35 e^t.

Passo 4

A solução geral é
y(t) = C_1\cos(2t) + C_2\sin(2t) + \tfrac14 t^2 - \tfrac18 + \tfrac35 e^t.
Calculamos
y(0) = C_1 - \tfrac18 + \tfrac35 = 0 \;\Longrightarrow\; C_1 = \tfrac18 - \tfrac35 = -\tfrac{19}{40},
y'(t) = -2C_1\sin(2t) + 2C_2\cos(2t) + \tfrac12 t + \tfrac35 e^t \;\Longrightarrow\; y'(0) = 2C_2 + \tfrac35 = 2 \;\Longrightarrow\; C_2 = \tfrac{7}{10}.

Resposta

\boxed{ y(t) = -\tfrac{19}{40}\cos(2t) + \tfrac{7}{10}\sin(2t) \;+\; \tfrac14\,t^2 - \tfrac18 \;+\;\tfrac35\,e^t. }

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