Resolva os PVI’s
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{2 t}, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'' - 2y' + y = e^{2t}, \quad y(0)=0, \quad y'(0)=0,
que é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos (1) achar a solução geral da homogênea, (2) obter uma solução particular e (3) aplicar as condições iniciais.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 2y' + y = 0.
Formamos a equação característica
r^2 - 2r + 1 = 0
que tem raiz dupla r=1. Logo a solução geral da homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{t} + C_2\,t\,e^{t}.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular y_p do tipo e^{2t}, tentamos
y_p(t) = A e^{2t}.
Derivando,
y_p' = 2A e^{2t}, \quad y_p'' = 4A e^{2t},
e substituindo em y'' -2y' + y = e^{2t}:
(4A - 4A + A)e^{2t} = A e^{2t} = e^{2t}
de onde A=1. Portanto
y_p(t) = e^{2t}.

Passo 4

A solução geral é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{t} + C_2\,t\,e^{t} + e^{2t}.
Para aplicar as condições iniciais, calculamos
y'(t) = C_1 e^{t} + C_2 (1 + t)e^{t} + 2e^{2t}.

Passo 5

Impondo y(0)=0:
y(0) = C_1 + 0 + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; C_1 = -1.
Impondo y'(0)=0:
y'(0) = C_1 + C_2 + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; -1 + C_2 + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; C_2 = -1.

Resposta

y(t) = e^{2t} - (1 + t)\,e^{t}.

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