O que se pede: representar f(x) por uma integral apropriada envolvendo apenas \sin ou apenas \cos.
Informações úteis extraídas do enunciado:
f(x)=x para x em (-\pi,\pi).
f(x)=0 para |x|>\pi.
A função é de suporte contido em [-\,\pi,\pi] (ou seja, é nula fora desse intervalo).]
Passo 2
Escolhendo o tipo de integral (explicação didática curta e motivadora).
Uma maneira natural de representar funções por integrais é usar as transformadas de Fourier. Como a função dada é ímpar (f(-x)=-f(x) para todo x), a representação mais simples usa senos apenas (a expansão em termos de senos corresponde a uma extensão ímpar). Vou usar a transformada seno (par padrão clássico), cuja definição e fórmula de inversão, e o que cada símbolo significa, são:
Definição da transformada seno (variável auxiliar k):
F_s(k)=\int_{0}^{\infty} f(t)\sin(k t)\,dt.
Aqui t é a variável de integração da função original e k é a variável da transformada.
Fórmula de inversão (reconstrução de f a partir de F_s):
Agora calculamos essa integral por partes (método sempre útil para integrar um produto t\sin(k t)).
Escolhendo u=t e dv=\sin(k t)\,dt então du=dt e v=-\dfrac{\cos(k t)}{k}. Assim:
Observação didática: aqui \cos(\pi k) e \sin(\pi k) significam \cos(\pi\cdot k) e \sin(\pi\cdot k); nada está sendo assumido sobre k (é variável real). O termo com 1/k^{2} é importante para que F_s(k) seja bem comportada em k=0 por limite.
Passo 4
Substituir F_s(k) na fórmula de inversão para obter a representação integral final. Usando a inversão:
Essa é uma representação direta de f(x) por integrais envolvendo somente \sin (e \cos(\pi k), que é um coeficiente que depende de k). Se desejar, pode-se separar os termos:
Comentário de verificação (rápido e intuitivo): essa representação é obtida pela transformada seno/inversão e, portanto, reproduz a função original (pontos de descontinuidade são recuperados em valor médio). A integral interna foi calculada passo a passo e não houve passos omitidos.