Represente a função indicada por uma integral apropriada do co-seno ou do seno.
f(x)= \begin{cases}x, & |x|<\pi \\\\ 0, & |x|>\pi\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes:
f(x)= \begin{cases}x, & |x|<\pi,\\[4pt] 0, & |x|>\pi.\end{cases}
O que se pede: representar f(x) por uma integral apropriada envolvendo apenas \sin ou apenas \cos.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • f(x)=x para x em (-\pi,\pi).
  • f(x)=0 para |x|>\pi.
  • A função é de suporte contido em [-\,\pi,\pi] (ou seja, é nula fora desse intervalo).]

Passo 2

Escolhendo o tipo de integral (explicação didática curta e motivadora).
Uma maneira natural de representar funções por integrais é usar as transformadas de Fourier. Como a função dada é ímpar ( f(-x)=-f(x) para todo x), a representação mais simples usa senos apenas (a expansão em termos de senos corresponde a uma extensão ímpar). Vou usar a transformada seno (par padrão clássico), cuja definição e fórmula de inversão, e o que cada símbolo significa, são:
Definição da transformada seno (variável auxiliar k):
F_s(k)=\int_{0}^{\infty} f(t)\sin(k t)\,dt.
Aqui t é a variável de integração da função original e k é a variável da transformada.
Fórmula de inversão (reconstrução de f a partir de F_s):
f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty} F_s(k)\sin(k x)\,dk.
Explicação: F_s(k) mede quanto de \sin(k t) aparece em f(t) (para t>0). A constante \tfrac{2}{\pi} garante a normalização correta para recuperar f(x).

Passo 3

Aplicar essas fórmulas ao caso concreto. Como f(t)=t apenas no intervalo (0,\pi) e é nula para t>\pi, a transformada seno fica:
F_s(k)=\int_{0}^{\infty} f(t)\sin(k t)\,dt=\int_{0}^{\pi} t\sin(k t)\,dt.
Agora calculamos essa integral por partes (método sempre útil para integrar um produto t\sin(k t)).
Escolhendo u=t e dv=\sin(k t)\,dt então du=dt e v=-\dfrac{\cos(k t)}{k}. Assim:
\int_{0}^{\pi} t\sin(k t)\,dt = \left[-\frac{t\cos(k t)}{k}\right]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi}\frac{\cos(k t)}{k}\,dt.
Calcule os termos separadamente:
\left[-\frac{t\cos(k t)}{k}\right]_{0}^{\pi}=-\frac{\pi\cos(k\pi)}{k}-0=-\frac{\pi\cos(\pi k)}{k},
e
\int_{0}^{\pi}\frac{\cos(k t)}{k}\,dt=\frac{1}{k}\left[\frac{\sin(k t)}{k}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\sin(\pi k)}{k^{2}}.
Somando:
F_s(k)=\int_{0}^{\pi} t\sin(k t)\,dt =-\frac{\pi\cos(\pi k)}{k}+\frac{\sin(\pi k)}{k^{2}}.
Observação didática: aqui \cos(\pi k) e \sin(\pi k) significam \cos(\pi\cdot k) e \sin(\pi\cdot k); nada está sendo assumido sobre k (é variável real). O termo com 1/k^{2} é importante para que F_s(k) seja bem comportada em k=0 por limite.

Passo 4

Substituir F_s(k) na fórmula de inversão para obter a representação integral final. Usando a inversão:
f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty} F_s(k)\sin(k x)\,dk,
e substituindo o F_s(k) que encontramos,
f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{\pi\cos(\pi k)}{k}+\frac{\sin(\pi k)}{k^{2}}\right)\sin(k x)\,dk.
Essa é uma representação direta de f(x) por integrais envolvendo somente \sin (e \cos(\pi k), que é um coeficiente que depende de k). Se desejar, pode-se separar os termos:
f(x)=-2\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(\pi k)}{k}\sin(k x)\,dk+\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\pi k)}{k^{2}}\sin(k x)\,dk.
Comentário de verificação (rápido e intuitivo): essa representação é obtida pela transformada seno/inversão e, portanto, reproduz a função original (pontos de descontinuidade são recuperados em valor médio). A integral interna foi calculada passo a passo e não houve passos omitidos.

Resposta

f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{\pi\cos(\pi k)}{k}+\frac{\sin(\pi k)}{k^{2}}\right)\sin(k x)\,dk

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