Resolva a equação:
l Y^prime-2 y^prime+y=x Y(0)=0 Y^prime(0)=1
Sem usar a transformada de Laplace

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
Y'' - 2Y' + Y = x
sob as condições iniciais Y(0)=0 e Y'(0)=1. O conteúdo envolvido é ODE linear de 2º ordem. Para resolver, vamos achar a solução geral homogênea, em seguida uma solução particular e por fim usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Para a parte homogênea, montamos a equação característica associada:
r^2 - 2r + 1 = 0
Essa equação tem raízes iguais r=1 com multiplicidade 2. Então a solução geral da homogênea é
Yh(x) = C1 e^x + C2 x e^x

Passo 3

Para obter uma solução particular de
Y'' - 2Y' + Y = x
usamos coeficientes indeterminados. Como o termo à direita é um polinômio de grau 1, tentamos
Yp(x) = A x + B
Calculamos
Yp' = A, Yp'' = 0
e substituímos na equação original:
0 - 2A + (A x + B) = x
Igualando coeficientes de x e termo constante, obtemos
A = 1,
B - 2A = 0 ,Rightarrow, B = 2
Logo
Yp(x) = x + 2

Passo 4

A solução geral da equação completa é
Y(x) = Yh(x) + Yp(x) = C1 e^x + C2 x e^x + x + 2
Agora aplicamos as condições iniciais. De Y(0)=0:
C1 + 2 = 0 Rightarrow C1 = -2
Para Y'(x), derivamos:
Y'(x) = C1 e^x + C2(e^x + x e^x) + 1
Avaliando em x=0 e usando Y'(0)=1
C1 + C2 + 1 = 1 Rightarrow C1 + C2 = 0
Como C1 = -2, segue C2 = 2.

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é
Y(x) = -2e^x + 2x e^x + x + 2

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