Resolva a equação:
Sem usar a transformada de Laplace
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
sob as condições iniciais
e
. O conteúdo envolvido é ODE linear de 2º ordem. Para resolver, vamos achar a solução geral homogênea, em seguida uma solução particular e por fim usar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Para a parte homogênea, montamos a equação característica associada:
Essa equação tem raízes iguais
com multiplicidade 2. Então a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para obter uma solução particular de
usamos coeficientes indeterminados. Como o termo à direita é um polinômio de grau 1, tentamos
Calculamos
e substituímos na equação original:
Igualando coeficientes de
e termo constante, obtemos
Logo
Passo 4
A solução geral da equação completa é
Agora aplicamos as condições iniciais. De
:
Para
, derivamos:
Avaliando em
e usando
dá
Como
, segue
.
Resposta
A solução que satisfaz as condições iniciais é