Obtenha a fórmula da condutividade ac do modelo de Drude
sigma(omega)=n e^2 taum 11+i omega tau

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a fórmula da condutividade alternada (AC) usando o modelo de Drude. Isso faz parte da matéria de física, especificamente na área de eletricidade e magnetismo. Para resolver isso, vamos precisar entender como os elétrons se movem em um metal quando submetidos a um campo elétrico que varia com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no modelo de Drude, consideramos que os elétrons livres em um metal se comportam como partículas clássicas que colidem com íons positivos fixos no tempo médio τ (tempo de relaxação). As principais variáveis que vamos usar são:
  • $ n $: densidade de elétrons (número de elétrons por unidade de volume)
  • $ e $: carga do elétron
  • $ m $: massa do elétron
  • $ \tau $: tempo de relaxação
  • $ \omega $: frequência angular do campo elétrico aplicado

Passo 3

Agora, vamos pensar na força que age sobre um elétron. Quando aplicamos um campo elétrico alternado $ E(t) = E_0 e^{i\omega t} $, a força sobre o elétron é dada por $ F = -e E(t) $. De acordo com a segunda lei de Newton, essa força também é igual a $ m \frac{dv}{dt} $, onde $ v $ é a velocidade do elétron.

Passo 4

Considerando que os elétrons perdem sua velocidade média a cada colisão após o tempo $ \tau $, a equação do movimento fica:
tau
Essa é uma equação diferencial que relaciona a velocidade dos elétrons com o campo elétrico aplicado.

Passo 5

Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar a velocidade em regime estacionário. Assumindo soluções do tipo $ v(t) = v_0 e^{i\omega t} $, substituímos na equação e obtemos:
v(t) = v0 e^iomega t
Isolando $ v_0 $:
(m i omega + mtau) v0 = -e E0

Passo 6

A corrente elétrica $ J $ é dada por $ J = n e v $. Substituindo $ v $:
J

Resposta

A fórmula da condutividade AC no modelo de Drude é:
sigma(omega) = n e^2 taum 11 + i omega tau

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