Resolva a equação de Laplace:
no retângulo
, com as seguintes condições de contorno:
Explique fisicamente como essas condições de contorno poderiam ser aplicadas em uma placa condutora.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Laplace
no retângulo
sob as condições de contorno
Vamos usar o método de separação de variáveis e depois aplicar séries de Fourier.
Passo 2
Assumimos solução do tipo
Substituindo na equação de Laplace e dividindo por
dá
Como uma parte depende só de
e outra só de
, cada uma deve ser constante. Definimos
levando aos dois EDOs
Passo 3
Pela condição
temos
. Isso gera valores próprios
Passo 4
Para cada modo
, a equação em
é
com solução geral
Impondo
faz
, logo
. Assim cada modo é
A solução geral é a soma sobre todos os modos:
Passo 5
Impondo
dá
Expandimos
em série de senos em
:
Como
se
é par e
se
é ímpar, somente os modos ímpares sobrevivem:
Passo 6
Fisicamente, isso corresponde a uma placa condutora retangular onde três bordas (em
) estão aterradas (
) e a borda superior (
) é mantida a potencial
. A solução de Laplace descreve o potencial eletrostático estabelecido na placa em regime estacionário.