Resolva a equação de Laplace:
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0
no retângulo 0<x<a, 0<y<b, com as seguintes condições de contorno:
u(0, y)=0, u(a, y)=0, u(x, 0)=0, u(x, b)=V0
Explique fisicamente como essas condições de contorno poderiam ser aplicadas em uma placa condutora.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Laplace
partial^2upartial x^2+partial^2upartial y^2=0
no retângulo 0<x<a,;0<y<b sob as condições de contorno
u(0,y)=0, u(a,y)=0, u(x,0)=0, u(x,b)=V0
Vamos usar o método de separação de variáveis e depois aplicar séries de Fourier.

Passo 2

Assumimos solução do tipo
u(x,y)=X(x),Y(y)
Substituindo na equação de Laplace e dividindo por X(x)Y(y)
X''(x)X(x)+Y''(y)Y(y)=0
Como uma parte depende só de x e outra só de y, cada uma deve ser constante. Definimos
X''(x)X(x)=-lambda, Y''(y)Y(y)=lambda,
levando aos dois EDOs
X''+lambda X=0, Y''-lambda Y=0

Passo 3

Pela condição u(0,y)=u(a,y)=0 temos X(0)=X(a)=0. Isso gera valores próprios
lambdan=l(tfracnpiar)^2, Xn(x)=sin!l(tfracnpi xar), n=1,2,3,dots

Passo 4

Para cada modo n, a equação em y é
Y''-l(tfracnpiar)^2Y=0,
com solução geral
Yn(y)=Ansinh!l(tfracnpi yar)+Bncosh!l(tfracnpi yar)
Impondo u(x,0)=0 faz Yn(0)=0, logo Bn=0. Assim cada modo é
un(x,y)=Cn,sin!l(tfracnpi xar),sinh!l(tfracnpi yar)
A solução geral é a soma sobre todos os modos:
u(x,y)=sumn=1^infty Cn,sin!l(tfracnpi xar),sinh!l(tfracnpi yar)

Passo 5

Impondo u(x,b)=V0
sumn=1^infty Cn,sinh!l(tfracnpi bar),sin!l(tfracnpi xar) =V0
Expandimos V0 em série de senos em 0<x<a:
Cn,sinh!l(tfracnpi bar) =2aintegral0^aV0,sin!l(tfracnpi xar),dx =2V0a,anpil[1-(-1)^nr] =2V0npil[1-(-1)^nr]
Como 1-(-1)^n=0 se n é par e =2 se n é ímpar, somente os modos ímpares sobrevivem:
C2m+1 =4V0(2m+1)pi,sinh!l(tfrac(2m+1)pi bar), m=0,1,2,dots

Passo 6

Fisicamente, isso corresponde a uma placa condutora retangular onde três bordas (em x=0,;x=a,;y=0) estão aterradas ( u=0) e a borda superior ( y=b) é mantida a potencial V0. A solução de Laplace descreve o potencial eletrostático estabelecido na placa em regime estacionário.

Resposta

u(x,y) =4V0pi summ=0^infty 12m+1 , sinh!l(tfrac(2m+1)pi yar) sinh!l(tfrac(2m+1)pi bar) , sin!l(tfrac(2m+1)pi xar)

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