Considere
.
(a) Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
(b) Calcule
usando o sistema de coordenadas que julgar mais conveniente.
(a) Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Escrever, sem calcular, como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
(b) Calcular usando o sistema de coordenadas que eu julgar mais conveniente.
(a) Escrever, sem calcular,
(b) Calcular
Informações dadas pelo enunciado (todas importantes e que vou usar depois):
Limites em
:
.
Limites em :
.
Limites em :
.
Limites em
Limites em
Observação sobre a região em
: a condição
e
descreve o quarto de disco (primeiro quadrante) de raio
no plano
.
A superfície inferior em é o paraboloide
e a superior é o plano
.
A superfície inferior em
Passo 2
Escolha do método: vou usar coordenadas cilíndricas. Rápida motivação (sem desenvolver os cálculos ainda): a região no plano
tem simetria circular (é um setor de disco de raio
) e a superfície inferior é dada por
, que em coordenadas cilíndricas vira
. Essas duas características tornam cilíndricas a escolha natural — fica mais simples expressar limites e o integrando. Vou explicar a mudança de variáveis com calma no próximo passo.
Passo 3
Conceitos básicos de coordenadas cilíndricas (aula rápida e necessária):
- As transformações são
onde
é a distância ao eixo
e
é o ângulo medido a partir do eixo
(no plano
).
- O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
Explicação do
: ele vem do jacobiano da transformação
; geometricamente compensa a “espessura” angular — pense que um pequeno arco de ângulo
tem comprimento
.
- Quando temos uma função em
como ou , trocamos como mostrado acima: e .
Passo 4
Descrito o domínio na nova parametrização:
- No plano
temos o quarto de disco de raio . Então varia de até (primeiro quadrante) e vai de até . - Em
, a superfície inferior vira e a superior é . Então .
Portanto os limites em cilíndricas serão:
Passo 5
Transformação do integrando e escrita da integral em cilindricas (resposta da parte (a), sem calcular):
- O integrando original é
. Em cilindricas . - O elemento de volume
vira (ordem escolhida ).
Logo a integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas é
ou escrevendo o integrando simplificado:
(Isto atende ao item (a): escrevi a integral em coordenadas cilíndricas, sem ainda calcular.)
Passo 6
Início do cálculo (parte (b)). Vou integrar na ordem
primeiro, depois
e por fim
— é natural porque o limite em
depende de
mas não de
. Começo com a integral interna:
Aqui
é constante em relação a
, então a integração em
é direta:
Expliquei: multiplico a constante pelo comprimento do intervalo em
, que é
.
Passo 7
Agora a integral dupla restante é
Posso separar a parte que depende só de
da que depende só de
, porque o integrando é um produto
. Logo
Passo 8
Calculo da integral em
:
Então essa parte contribui com multiplicador
— simplifica a conta.
Passo 9
Calculo da integral em
. Expando o integrando:
Agora integro termo a termo:
Uso as fórmulas básicas de antiderivadas:
.
Então
Então
e
Subtraindo:
Faço o cálculo em fração comum:
Passo 10
Juntando tudo: a integral em
deu
(Passo 8) e a integral em
deu
(Passo 9). Portanto
Interpretação final: o valor numérico da integral tripla é
.