Considere I=\int_{0}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{x^{2}+y^{2}}^{9} x d z d y d x.
(a) Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
(b) Calcule I usando o sistema de coordenadas que julgar mais conveniente.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) Escrever, sem calcular, I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
(b) Calcular I usando o sistema de coordenadas que eu julgar mais conveniente.
Informações dadas pelo enunciado (todas importantes e que vou usar depois):
I=\int_{0}^{3}\int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}}\int_{x^{2}+y^{2}}^{9} x \,dz\,dy\,dx.
Limites em x: \;0\le x\le 3.
Limites em y: \;0\le y\le \sqrt{9-x^{2}}.
Limites em z: \;x^{2}+y^{2}\le z\le 9.
Observação sobre a região em xy: a condição 0\le x\le 3 e 0\le y\le \sqrt{9-x^{2}} descreve o quarto de disco (primeiro quadrante) de raio 3 no plano xy.
A superfície inferior em z é o paraboloide z=x^{2}+y^{2} e a superior é o plano z=9.

Passo 2

Escolha do método: vou usar coordenadas cilíndricas. Rápida motivação (sem desenvolver os cálculos ainda): a região no plano xy tem simetria circular (é um setor de disco de raio 3) e a superfície inferior é dada por z=x^{2}+y^{2}, que em coordenadas cilíndricas vira z=r^{2}. Essas duas características tornam cilíndricas a escolha natural — fica mais simples expressar limites e o integrando. Vou explicar a mudança de variáveis com calma no próximo passo.

Passo 3

Conceitos básicos de coordenadas cilíndricas (aula rápida e necessária):
  • As transformações são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,
onde r\ge 0 é a distância ao eixo z e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x (no plano xy).
  • O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicação do r: ele vem do jacobiano da transformação (x,y)\mapsto(r,\theta); geometricamente compensa a “espessura” angular — pense que um pequeno arco de ângulo d\theta tem comprimento r\,d\theta.
  • Quando temos uma função em x,y como x ou x^{2}+y^{2}, trocamos como mostrado acima: x=r\cos\theta e x^{2}+y^{2}=r^{2}.

Passo 4

Descrito o domínio na nova parametrização:
  • No plano xy temos o quarto de disco de raio 3. Então \theta varia de \;0 até \;\tfrac{\pi}{2} (primeiro quadrante) e r vai de \;0 até \;3.
  • Em z, a superfície inferior z=x^{2}+y^{2} vira z=r^{2} e a superior é z=9. Então r^{2}\le z\le 9.
Portanto os limites em cilíndricas serão: \;0\le \theta\le \tfrac{\pi}{2},\;0\le r\le 3,\;r^{2}\le z\le 9.

Passo 5

Transformação do integrando e escrita da integral em cilindricas (resposta da parte (a), sem calcular):
  • O integrando original é x. Em cilindricas x=r\cos\theta.
  • O elemento de volume dz\,dy\,dx vira dV = r\,dz\,dr\,d\theta (ordem escolhida dz\,dr\,d\theta).
    Logo a integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas é
\boxed{\,I=\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{3}\int_{r^{2}}^{9} r\cos\theta\; r \,dz\,dr\,d\theta \,}
ou escrevendo o integrando simplificado:
\boxed{\,I=\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{3}\int_{r^{2}}^{9} r^{2}\cos\theta \,dz\,dr\,d\theta \,}
(Isto atende ao item (a): escrevi a integral em coordenadas cilíndricas, sem ainda calcular.)

Passo 6

Início do cálculo (parte (b)). Vou integrar na ordem dz primeiro, depois dr e por fim d\theta — é natural porque o limite em z depende de r mas não de \theta. Começo com a integral interna:
\int_{r^{2}}^{9} r^{2}\cos\theta \,dz.
Aqui r^{2}\cos\theta é constante em relação a z, então a integração em z é direta:
\int_{r^{2}}^{9} r^{2}\cos\theta \,dz = r^{2}\cos\theta\,(9 - r^{2}).
Expliquei: multiplico a constante pelo comprimento do intervalo em z, que é 9-r^{2}.

Passo 7

Agora a integral dupla restante é
I=\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{3} r^{2}\cos\theta\,(9-r^{2}) \,dr\,d\theta.
Posso separar a parte que depende só de \theta da que depende só de r, porque o integrando é um produto \big(\cos\theta\big)\big(r^{2}(9-r^{2})\big). Logo
I=\left(\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos\theta \,d\theta\right)\left(\int_{0}^{3} r^{2}(9-r^{2}) \,dr\right).

Passo 8

Calculo da integral em \theta:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos\theta \,d\theta = \big[\sin\theta\big]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} = \sin\!\tfrac{\pi}{2}-\sin 0 = 1-0 = 1.
Então essa parte contribui com multiplicador 1 — simplifica a conta.

Passo 9

Calculo da integral em r. Expando o integrando:
r^{2}(9-r^{2}) = 9r^{2}-r^{4}.
Agora integro termo a termo:
\int_{0}^{3} (9r^{2}-r^{4})\,dr = 9\int_{0}^{3} r^{2}\,dr - \int_{0}^{3} r^{4}\,dr.
Uso as fórmulas básicas de antiderivadas: \int r^{n}\,dr = \dfrac{r^{n+1}}{n+1}.
Então
9\int_{0}^{3} r^{2}\,dr = 9\cdot\left[\dfrac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{3} = 9\cdot\left(\dfrac{27}{3}-0\right)=9\cdot 9=81,
e
\int_{0}^{3} r^{4}\,dr = \left[\dfrac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{3} = \dfrac{3^{5}}{5}=\dfrac{243}{5}.
Subtraindo:
\int_{0}^{3} (9r^{2}-r^{4})\,dr = 81 - \dfrac{243}{5}.
Faço o cálculo em fração comum:
81 = \dfrac{405}{5},\quad \dfrac{405}{5}-\dfrac{243}{5}=\dfrac{162}{5}.

Passo 10

Juntando tudo: a integral em \theta deu 1 (Passo 8) e a integral em r deu \dfrac{162}{5} (Passo 9). Portanto
I = 1\cdot \dfrac{162}{5} = \dfrac{162}{5}.
Interpretação final: o valor numérico da integral tripla é \dfrac{162}{5}.

Resposta

\displaystyle I=\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{3}\int_{r^{2}}^{9} r^{2}\cos\theta \,dz\,dr\,d\theta
\displaystyle I=\dfrac{162}{5}

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