Usa-se uma centrífuga de vaso cilíndrico para separar água de um óleo de peixe. A centrifuga tem vaso de 4 in ( 10,16 \mathrm{~cm} ) de diâmetro e 30 in de comprimento e gira a 15.000 rpm . A densidade do óleo de peixe é 0,94 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e a viscosidade 50 cP a 25^{\circ} \mathrm{C}. Os raios dos vertedores interno ( ri ) e externo ( r 4 ) são 1,246 in e 1,250 in., respectivamente. Determinar o diâmetro critico das gotículas de óleo suspensas na água, se a taxa de alimentaçāo for de 315,42 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s} de suspensāo, com 20 \% de óleo de peixe. Dados: piso = 1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.

Passo 1

O problema pede: determinar o diâmetro crítico das gotículas de óleo (isto é, o diâmetro mínimo que uma gota precisa ter para ser separada pela centrífuga durante o tempo de residência) dado os dados da centrífuga e da suspensão.
Dados fornecidos (vou listar todos, sem resolver ainda):
\begin{aligned} &\text{diâmetro do vaso: } 4\\ \text{in} = 10{,}16\\ \text{cm},\\\ &\text{comprimento do vaso: } 30\\ \text{in} = 76{,}20\\ \text{cm},\\\ &\text{velocidade de rotação: } 15\,000\\ \text{rpm},\\\ &\text{densidade do óleo: } \rho_p = 0{,}94\\ \text{g/cm}^3,\\\ &\text{densidade da água (contínua): } \rho_f = 1{,}00\\ \text{g/cm}^3\\ (\text{dado}),\\\ &\text{viscosidade do óleo: } 50\\ \text{cP} \\ (\text{dado, ver comentário mais abaixo}),\\\ &\text{raios dos vertedores: } r_i = 1{,}246\\ \text{in},\\ r_4 = 1{,}250\\ \text{in},\\\ &\text{vazão de alimentação (suspensão total): } Q = 315{,}42\\ \text{cm}^3/\text{s},\\\ &\text{fração de óleo na suspensão: } 20\%. \end{aligned}âçãóáíóáãçããçãóã
Observação importante (já só como listagem dos dados): os raios r_i e r_4 estão em polegadas; vou transformar para centímetros ao calcular. Não resolvo nada aqui — só enumerei os dados e o que é pedido.

Passo 2

Princípio físico e hipótese usada (explicação didática):
  • Num campo centrífugo (rotação com velocidade angular \omega), uma gotícula experimenta uma aceleração radial efetiva a_c=\omega^2 r dirigida para fora. Se a gotícula for menos densa que o fluido contínuo (aqui o óleo é mais leve que a água), ela migra radialmente no sentido oposto ao do movimento das partículas mais densas (no nosso cálculo usaremos o módulo da diferença de densidade).
  • Para gotículas pequenas em regime de baixa velocidade relativa, a resistência viscosa é bem descrita pela lei de Stokes. A velocidade terminal radial (módulo) da gotícula, em equilíbrio entre a força centrífuga efetiva e a força de arrasto de Stokes, é proporcional ao quadrado do raio da gota r_d^2.
Apresento a expressão da velocidade radial terminal (módulo) obtida por equilíbrio entre força centrífuga efetiva e arrasto de Stokes:
v_r(r)=\frac{2}{9}\,\frac{|\rho_p-\rho_f|}{\mu}\,\omega^2\,r_d^2\,r,
onde:
  • \rho_p é a densidade da gotícula (óleo), \rho_f é a densidade do fluido contínuo (água),
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido contínuo (água) em \mathrm{g/(cm\cdot s)},
  • \omega é a velocidade angular (rad/s),
  • r_d é o raio da gota (cm),
  • r é a coordenada radial (cm).
Explicação do porquê usamos a viscosidade da água e não a do óleo: a força de arrasto que limita o movimento da gota relativa ao fluido depende da viscosidade do fluido contínuo (a água), porque é esse fluido que cria a resistência ao movimento da gota. Portanto, para aplicar a lei de Stokes devemos usar \mu do contínuo (água), que à temperatura ambiente é aproximadamente 1\\ \text{cP}=0{,}01\\ \text{g/(cm·s)}. A viscosidade do óleo foi fornecida mas aqui ela não entra na força de arrasto do fluido contínuo (entra em casos mais complexos de interações internas à gota).

Passo 3

Tempo necessário para a gota migrar entre os dois raios do vertedor:
A gota deve percorrer desde um raio até o outro (se ela é mais leve que a água, ela migra para dentro; se fosse mais densa, migraria para fora). O tempo de migração (tempo de sedimentação centrífuga) é
t_s=\int_{r_i}^{r_4}\frac{dr}{v_r(r)}.
Substituindo v_r(r) e integrando (a dependência em r é 1/r no inverso da velocidade), obtemos:
t_s=\frac{9\,\mu}{2\,|\rho_p-\rho_f|\,\omega^2\,r_d^2}\,\ln\!\left(\frac{r_4}{r_i}\right).
Aqui \ln(r_4/r_i) é adimensional e positivo porque r_4>r_i.
Interpretação: quanto maior o raio da gota r_d, menor o tempo t_s para atravessar a pequena largura entre r_i e r_4.

Passo 4

Tempo de residência na centrífuga (explicação e cálculo do volume):
  • Aproximação usual: o tempo de residência t_{\text{res}} é o volume interno do vaso dividido pela vazão total Q da suspensão:
t_{\text{res}}=\frac{V}{Q}.
  • Volume do cilindro (vaso) com diâmetro D e comprimento L:
V=\pi\left(\frac{D}{2}\right)^2 L.
Agora converto unidades e calculo numericamente:
\begin{aligned} &D=10{,}16\\ \text{cm},\qquad L=76{,}20\\ \text{cm},\\\ &\text{logo } V=\pi\left(\frac{10{,}16}{2}\right)^2 76{,}20 =\pi (5{,}08)^2(76{,}20). \end{aligned}
Cálculo (passo a passo):
(5{,}08)^2=25{,}8064,
\pi(5{,}08)^2=25{,}8064\pi \approx 81{,}048\\ \text{cm}^2,
V\approx 81{,}048\cdot 76{,}20 \approx 6\,177{,}78\\ \text{cm}^3.
Portanto
t_{\text{res}}=\frac{V}{Q}=\frac{6\,177{,}78}{315{,}42}\\ \text{s}\approx 19{,}60\\ \text{s}.

Passo 5

Condição de separação (definição do diâmetro crítico):
  • Uma gota é separada se o tempo de migração t_s for menor ou igual ao tempo de residência t_{\text{res}}.
  • Igualando t_s=t_{\text{res}} e isolando o raio r_d obtemos a expressão para o raio crítico; transformando para diâmetro crítico d_c=2r_d chegamos à fórmula conveniente:
d_c=\sqrt{\frac{18\,\mu\,\ln\!\left(\dfrac{r_4}{r_i}\right)}{|\rho_p-\rho_f|\,\omega^2\,t_{\text{res}}}}.
Expliquei: derivei isso de rearranjar a expressão de t_s e multiplicar por 2 para passar de raio para diâmetro.

Passo 6

Agora os valores numéricos e conversões necessárias (cada item em TeX):
\begin{aligned} &r_i=1{,}246\\ \text{in}=1{,}246\cdot2{,}54=3{,}16484\\ \text{cm},\\\ &r_4=1{,}250\\ \text{in}=1{,}250\cdot2{,}54=3{,}17500\\ \text{cm},\\\ &\ln\!\left(\frac{r_4}{r_i}\right)=\ln\!\left(\frac{3{,}17500}{3{,}16484}\right)\approx 0{,}003206,\\\ &\rho_p=0{,}94\\ \text{g/cm}^3,\quad \rho_f=1{,}00\\ \text{g/cm}^3\Rightarrow |\rho_p-\rho_f|=0{,}06\\ \text{g/cm}^3,\\\ &\mu\\ (\text{água})\approx 1\\ \text{cP}=0{,}01\\ \text{g/(cm·s)}\quad(\text{usado no cálculo}),\\\ &\text{velocidade angular: } \omega=2\pi\frac{N}{60}=2\pi\frac{15\,000}{60}=500\pi\\ \text{rad/s}\approx 1\,570{,}796\\ \text{rad/s},\\\ &\omega^2\approx(1\,570{,}796)^2\approx 2{,}467{,}401\\ \text{s}^{-2},\\\ &t_{\text{res}}\approx 19{,}60\\ \text{s}\\ (\text{do Passo 4}). \end{aligned}áá

Passo 7

Substituição e contas finais (passo a passo numérico):
Usando a fórmula
d_c=\sqrt{\frac{18\,\mu\,\ln\!\left(\dfrac{r_4}{r_i}\right)}{|\rho_p-\rho_f|\,\omega^2\,t_{\text{res}}}},
substituo os números:
\text{numerador}=18\cdot(0{,}01)\cdot(0{,}003206)=0{,}00057708,
\text{denominador}=0{,}06\cdot(2{,}467{,}401)\cdot(19{,}60)\approx 2{,}902{,}157{,}0,
\frac{\text{numerador}}{\text{denominador}}\approx \frac{0{,}00057708}{2{,}902{,}157}\approx 1{,}989\times10^{-10}\\ \text{cm}^2.
Agora a raiz quadrada dá o diâmetro em centímetros:
d_c=\sqrt{1{,}989\times10^{-10}}\\ \text{cm}\approx 1{,}410\times10^{-5}\\ \text{cm}.
Converto para micrômetros ( 1\\ \text{cm}=10\,000\\ \mu\text{m}):
d_c\approx 1{,}410\times10^{-5}\\ \text{cm}\times10^{4}\\ \frac{\mu\text{m}}{\text{cm}} \approx 0{,}141\\ \mu\text{m}.
Pequeno comentário de incentivo: o valor é muito pequeno (gotículas submicrométricas), o que faz sentido porque a centrífuga gira muito rápido e o espaço entre os vertedores é muito reduzido — isso gera forças centrífugas enormes e, portanto, permite separar gotículas bem pequenas.

Resposta

d_c\approx 0{,}141\\ \mu\mathrm{m}

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