Usa-se uma centrífuga de vaso cilíndrico para separar água de um óleo de peixe. A centrifuga tem vaso de 4 in ( 10,16 \mathrm{~cm} ) de diâmetro e 30 in de comprimento e gira a 15.000 rpm . A densidade do óleo de peixe é 0,94 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e a viscosidade 50 cP a 25^{\circ} \mathrm{C}. Os raios dos vertedores interno ( ri ) e externo ( r 4 ) são 1,246 in e 1,250 in., respectivamente. Determinar o diâmetro critico das gotículas de óleo suspensas na água, se a taxa de alimentaçāo for de 315,42 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s} de suspensāo, com 20 \% de óleo de peixe. Dados: piso = 1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.
Passo 1
O problema pede: determinar o diâmetro crítico das gotículas de óleo (isto é, o diâmetro mínimo que uma gota precisa ter para ser separada pela centrífuga durante o tempo de residência) dado os dados da centrífuga e da suspensão.
Dados fornecidos (vou listar todos, sem resolver ainda):
\begin{aligned} &\text{diâmetro do vaso: } 4\\ \text{in} = 10{,}16\\ \text{cm},\\\ &\text{comprimento do vaso: } 30\\ \text{in} = 76{,}20\\ \text{cm},\\\ &\text{velocidade de rotação: } 15\,000\\ \text{rpm},\\\ &\text{densidade do óleo: } \rho_p = 0{,}94\\ \text{g/cm}^3,\\\ &\text{densidade da água (contínua): } \rho_f = 1{,}00\\ \text{g/cm}^3\\ (\text{dado}),\\\ &\text{viscosidade do óleo: } 50\\ \text{cP} \\ (\text{dado, ver comentário mais abaixo}),\\\ &\text{raios dos vertedores: } r_i = 1{,}246\\ \text{in},\\ r_4 = 1{,}250\\ \text{in},\\\ &\text{vazão de alimentação (suspensão total): } Q = 315{,}42\\ \text{cm}^3/\text{s},\\\ &\text{fração de óleo na suspensão: } 20\%. \end{aligned}
Observação importante (já só como listagem dos dados): os raios r_i e r_4 estão em polegadas; vou transformar para centímetros ao calcular. Não resolvo nada aqui — só enumerei os dados e o que é pedido.
Passo 2
Princípio físico e hipótese usada (explicação didática):
Num campo centrífugo (rotação com velocidade angular \omega), uma gotícula experimenta uma aceleração radial efetiva a_c=\omega^2 r dirigida para fora. Se a gotícula for menos densa que o fluido contínuo (aqui o óleo é mais leve que a água), ela migra radialmente no sentido oposto ao do movimento das partículas mais densas (no nosso cálculo usaremos o módulo da diferença de densidade).
Para gotículas pequenas em regime de baixa velocidade relativa, a resistência viscosa é bem descrita pela lei de Stokes. A velocidade terminal radial (módulo) da gotícula, em equilíbrio entre a força centrífuga efetiva e a força de arrasto de Stokes, é proporcional ao quadrado do raio da gota r_d^2.
Apresento a expressão da velocidade radial terminal (módulo) obtida por equilíbrio entre força centrífuga efetiva e arrasto de Stokes:
\rho_p é a densidade da gotícula (óleo), \rho_f é a densidade do fluido contínuo (água),
\mu é a viscosidade dinâmica do fluido contínuo (água) em \mathrm{g/(cm\cdot s)},
\omega é a velocidade angular (rad/s),
r_d é o raio da gota (cm),
r é a coordenada radial (cm).
Explicação do porquê usamos a viscosidade da água e não a do óleo: a força de arrasto que limita o movimento da gota relativa ao fluido depende da viscosidade do fluido contínuo (a água), porque é esse fluido que cria a resistência ao movimento da gota. Portanto, para aplicar a lei de Stokes devemos usar \mu do contínuo (água), que à temperatura ambiente é aproximadamente 1\\ \text{cP}=0{,}01\\ \text{g/(cm·s)}. A viscosidade do óleo foi fornecida mas aqui ela não entra na força de arrasto do fluido contínuo (entra em casos mais complexos de interações internas à gota).
Passo 3
Tempo necessário para a gota migrar entre os dois raios do vertedor:
A gota deve percorrer desde um raio até o outro (se ela é mais leve que a água, ela migra para dentro; se fosse mais densa, migraria para fora). O tempo de migração (tempo de sedimentação centrífuga) é
t_s=\int_{r_i}^{r_4}\frac{dr}{v_r(r)}.
Substituindo v_r(r) e integrando (a dependência em r é 1/r no inverso da velocidade), obtemos:
Condição de separação (definição do diâmetro crítico):
Uma gota é separada se o tempo de migração t_s for menor ou igual ao tempo de residência t_{\text{res}}.
Igualando t_s=t_{\text{res}} e isolando o raio r_d obtemos a expressão para o raio crítico; transformando para diâmetro crítico d_c=2r_d chegamos à fórmula conveniente:
Pequeno comentário de incentivo: o valor é muito pequeno (gotículas submicrométricas), o que faz sentido porque a centrífuga gira muito rápido e o espaço entre os vertedores é muito reduzido — isso gera forças centrífugas enormes e, portanto, permite separar gotículas bem pequenas.