Determine a transformada inversa, x(t), para cada uma das seguintes transformadas de Laplace e suas regiões de convergência associadas:
X(s)=-s-4s^2+3 s+2 com RDC Re(s)>-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace, $ x(t) $, para a função dada $ X(s) = \frac{-s-4}{s^{2}+3s+2} $. Além disso, a região de convergência (ROC) é $ \operatorname{Re}(s) > -1 $. Vamos usar conceitos de transformadas de Laplace e decomposição em frações parciais para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da função $ X(s) $. Temos $ s^{2} + 3s + 2 $. Para facilitar a decomposição, precisamos fatorar esse polinômio.
O polinômio quadrático $ s^{2} + 3s + 2 $ pode ser fatorado assim:
X(s)
Então, nossa função fica:
s^2 + 3s + 2

Passo 3

Agora, vamos decompor $ X(s) $ em frações parciais. Isso significa que queremos escrever $ X(s) $ como a soma de termos mais simples. Assumimos:
X(s)
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ A $ e $ B $.

Passo 4

Para encontrar $ A $ e $ B $, multiplicamos ambos os lados da equação pelos denominadores comuns $ (s+1)(s+2) $:
A
Agora, vamos escolher valores de $ s $ que simplifiquem a equação:
  1. Se $ s = -2 $:
B
  1. Se $ s = -1 $:
(s+1)(s+2)

Passo 5

Com os valores de $ A $ e $ B $ encontrados, podemos reescrever $ X(s) $:
A

Passo 6

Agora, vamos encontrar a transformada inversa de Laplace de cada termo individualmente. Sabemos que:
L^-11s+a = e^-a t u(t)
onde $ u(t) $ é a função degrau unitário.
Aplicando isso aos nossos termos:
u(t)
L^-1-3s+1 = -3 e^-1 t = -3 e^-t

Resposta

A transformada inversa de Laplace é:
x(t) = -3 e^-t + 2 e^-2t

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