Determine a transformada inversa,
, para cada uma das seguintes transformadas de Laplace e suas regiões de convergência associadas:
com RDC
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace, $ x(t) $, para a função dada $ X(s) = \frac{-s-4}{s^{2}+3s+2} $. Além disso, a região de convergência (ROC) é $ \operatorname{Re}(s) > -1 $. Vamos usar conceitos de transformadas de Laplace e decomposição em frações parciais para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da função $ X(s) $. Temos $ s^{2} + 3s + 2 $. Para facilitar a decomposição, precisamos fatorar esse polinômio.
O polinômio quadrático $ s^{2} + 3s + 2 $ pode ser fatorado assim:
Então, nossa função fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor $ X(s) $ em frações parciais. Isso significa que queremos escrever $ X(s) $ como a soma de termos mais simples. Assumimos:
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ A $ e $ B $.
Passo 4
Para encontrar $ A $ e $ B $, multiplicamos ambos os lados da equação pelos denominadores comuns $ (s+1)(s+2) $:
Agora, vamos escolher valores de $ s $ que simplifiquem a equação:
- Se $ s = -2 $:
- Se $ s = -1 $:
Passo 5
Com os valores de $ A $ e $ B $ encontrados, podemos reescrever $ X(s) $:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a transformada inversa de Laplace de cada termo individualmente. Sabemos que:
onde $ u(t) $ é a função degrau unitário.
Aplicando isso aos nossos termos:
Resposta
A transformada inversa de Laplace é: