Seja n in Z com n >= 2. Mostre que
integral(ln x)^n d x=x(ln x)^n-n integral(ln x)^n-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a integral de (ln x)^n em relação a x é igual a x(ln x)^n - n vezes a integral de (ln x)^n-1. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. Essa técnica é útil quando temos uma integral que é o produto de duas funções. A fórmula básica é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Então, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv.

Passo 3

No nosso caso, a integral é integral (ln x)^n , dx. Vamos escolher:
u = (ln x)^n
E, consequentemente,
dv = dx

Passo 4

Agora, precisamos calcular du e v. Começando com du:
du = ddx ( (ln x)^n ) dx = n (ln x)^n-1 cdot 1x dx
E para v:
v = integral dv = integral dx = x

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo u, v e du:
integral (ln x)^n , dx = x (ln x)^n - integral x cdot n (ln x)^n-1 cdot 1x dx

Passo 6

Simplificando a expressão da integral restante:
x cdot n (ln x)^n-1 cdot 1x = n (ln x)^n-1
Então, a integral fica:
integral (ln x)^n , dx = x (ln x)^n - n integral (ln x)^n-1 , dx

Resposta

Portanto, mostramos que:
integral (ln x)^n , dx = x (ln x)^n - n integral (ln x)^n-1 , dx

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