Seja
com
. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a integral de
em relação a
é igual a
vezes a integral de
. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. Essa técnica é útil quando temos uma integral que é o produto de duas funções. A fórmula básica é:
Então, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
.
Passo 3
No nosso caso, a integral é
. Vamos escolher:
E, consequentemente,
Passo 4
Agora, precisamos calcular
e
. Começando com
:
E para
:
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Passo 6
Simplificando a expressão da integral restante:
Então, a integral fica:
Resposta
Portanto, mostramos que: