Resolva a equação log 3 x=1+log x 9.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação log3 x = 1 + logx 9. Isso é um problema de propriedades de logaritmos, em especial mudança de base e resolução de equação algébrica resultante.

Passo 2

Vamos usar a mudança de base para escrever logx 9 em função de log3 x. Sabemos que
logx 9 = ln 9ln x = 2ln 3ln x = 2log3 x
Substituindo na equação original, obtemos
log3 x = 1 + 2log3 x

Passo 3

Para simplificar, faça t = log3 x. A equação vira
t = 1 + 2t Longrightarrow t^2 = t + 2 Longrightarrow t^2 - t - 2 = 0
Esse é um polinômio de segundo grau.

Passo 4

Resolvendo t^2 - t - 2 = 0, fatoramos:
(t - 2)(t + 1) = 0 ; Rightarrow; t = 2 ou t = -1
Voltando para x, temos x = 3^t. Logo
x = 3^2 = 9 ou x = 3^-1 = tfrac13
Ambas são positivas e diferentes de 1, satisfazendo o domínio de log3 x e logx 9.

Resposta

As soluções são x = 9 e x = tfrac13.

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