Sejam \left(a_{n}\right) e \left(b_{n}\right) duas sequências tais que
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| \leq\left|\frac{b_{n+1}}{b_{n}}\right|, \quad \text { para todo } n>n_{0},
e suponha que a série \sum b_{n} convirja absolutamente. Mostre que \sum\left|a_{n}\right| converge.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos duas sequências \bigl(a_n\bigr) e \bigl(b_n\bigr) tais que, a partir de um índice n_0,
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| \quad\text{para todo }n>n_0,
e sabemos que a série \sum b_n converge absolutamente, ou seja, \sum|b_n|<\infty.
O que vamos usar é um argumento de comparação baseado numa telescopagem de produtos de razões.
Como só perdemos um número finito de termos (os índices 1,2,\dots,n_0), a convergência de \sum_{n=1}^\infty|a_n| segue da convergência de \sum_{n=n_0+1}^\infty|a_n|. Portanto
\sum_{n=1}^\infty|a_n|
converge, ou seja, \sum a_n converge absolutamente.
Resposta
A série \sum|a_n| converge, logo \sum a_n converge absolutamente.