Sejam \left(a_{n}\right) e \left(b_{n}\right) duas sequências tais que
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| \leq\left|\frac{b_{n+1}}{b_{n}}\right|, \quad \text { para todo } n>n_{0},
e suponha que a série \sum b_{n} convirja absolutamente. Mostre que \sum\left|a_{n}\right| converge.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas sequências \bigl(a_n\bigr) e \bigl(b_n\bigr) tais que, a partir de um índice n_0,
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| \quad\text{para todo }n>n_0,
e sabemos que a série \sum b_n converge absolutamente, ou seja, \sum|b_n|<\infty.
O que vamos usar é um argumento de comparação baseado numa telescopagem de produtos de razões.

Passo 2

Como para cada k\ge n_0 vale
\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|\le\left|\frac{b_{k+1}}{b_k}\right|,
podemos multiplicar essas desigualdades de k=n_0 até k=n-1. Isso nos dá
\prod_{k=n_0}^{n-1}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| \;\le\; \prod_{k=n_0}^{n-1}\left|\frac{b_{k+1}}{b_k}\right|.

Passo 3

Observe que os dois produtos telescopam:
\prod_{k=n_0}^{n-1}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| =\frac{|a_{n}|}{|a_{n_0}|}, \qquad \prod_{k=n_0}^{n-1}\left|\frac{b_{k+1}}{b_k}\right| =\frac{|b_{n}|}{|b_{n_0}|}.
Logo a desigualdade do passo anterior torna-se
\frac{|a_{n}|}{|a_{n_0}|}\;\le\;\frac{|b_{n}|}{|b_{n_0}|} \quad\Longrightarrow\quad |a_{n}|\;\le\;\frac{|a_{n_0}|}{|b_{n_0}|}\;|b_{n}| \quad\text{para todo }n>n_0.

Passo 4

Definindo a constante positiva
M = \frac{|a_{n_0}|}{|b_{n_0}|},
temos |a_n|\le M\,|b_n| quando n>n_0. Como \sum|b_n| converge, a partir do teste de comparação deduzimos
\sum_{n=n_0+1}^{\infty}|a_n| \;\le\; M\sum_{n=n_0+1}^{\infty}|b_n| \;<\; \infty.

Passo 5

Como só perdemos um número finito de termos (os índices 1,2,\dots,n_0), a convergência de \sum_{n=1}^\infty|a_n| segue da convergência de \sum_{n=n_0+1}^\infty|a_n|. Portanto
\sum_{n=1}^\infty|a_n|
converge, ou seja, \sum a_n converge absolutamente.

Resposta

A série \sum|a_n| converge, logo \sum a_n converge absolutamente.

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