Determine o domínio, imagem e esboce o gráfico da função f(x)=3^{x-2}+1.

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=3^{x-2}+1
determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico. O conteúdo aqui é estudo de funções exponenciais e transformações (translação horizontal e vertical).

Passo 2

Para achar o domínio, note que 3^{x-2} está definido para todo x\in\mathbb{R}. Logo \text{Domínio} = \mathbb{R}.í

Passo 3

Para a imagem, observe que 3^{x-2}>0 para todo x. Então
f(x)=3^{x-2}+1>1.
Concluímos que
\text{Imagem} = (1,\infty).

Passo 4

Para esboçar o gráfico, partimos de g(t)=3^t e aplicamos:
  1. Translação horizontal de 2 unidades para a direita (substituir t por x-2).
  2. Translação vertical de 1 unidade para cima.
Assim temos:
  • Assíntota horizontal em y=1.
  • Em x=2, f(2)=3^0+1=2.
  • Em x=3, f(3)=3^1+1=4.
  • Em x=1, f(1)=3^{-1}+1=\tfrac13+1=\tfrac43.
O gráfico é crescente, se aproxima de y=1 quando x\to-\infty e cresce rápido quando x\to+\infty.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (1,\infty)
Gráfico: assíntota y=1, passa por (2,2), (3,4), com curva exponencial crescente.

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