4(1,5) Resolva a equação da Onda com problemas de PVI, pelo método da superposição, isto é, utilizando série de Fourier: l alpha^2 partial^2 upartial x^2=partial^2 upartial t^2, 0<x<L, t>0 u(0, t)=0, u(L, t)=0, t>0 u(x, 0)=0,partial upartial t|t=0=-x, 0<x<L Passo 1O enunciado pede para resolver a equação da onda alpha^2partial^2upartial x^2 = partial^2upartial t^2, 0<x<L,;t>0 com condições de contorno u(0,t)=0,;u(L,t)=0 e condições iniciais u(x,0)=0, ut(x,0)=-x O método da superposição via série de Fourier nos leva a decompor u(x,t) em modos sin(npi x/L) e determinar coeficientes pela expansão da velocidade inicial. Passo 2Assumimos a solução por separação de variáveis em modos de x: u(x,t) = sumn=1^inftyl[Ancos(omegant)+Bnsin(omegant)r]sin!l(tfracnpiLxr), onde omegan = npialphaL Passo 3Como u(x,0)=0, temos u(x,0)=sumn=1^inftyAnsin!l(tfracnpiLxr)=0 para todo x. Isso implica An=0 para todo n. Passo 4A condição ut(x,0)=-x dá ut(x,0)=sumn=1^inftyBn,omegan,sin!l(tfracnpiLxr)=-x Expandimos -x em série de senos: -x = sumn=1^inftybn,sin!l(tfracnpiLxr), com bn = 2Lintegral0^L(-x),sin!l(tfracnpiLxr),dx Calculando a integral: integral0^Lxsin!l(tfracnpiLxr),dx = -L^2npi(-1)^n, logo bn = -2Ll(-L^2npi(-1)^nr) = 2Lnpi(-1)^n Daí Bn,omegan=bn, ou seja Bn = bnomegan = tfrac2Lnpi(-1)^ntfracnpialphaL = 2L^2n^2pi^2alpha(-1)^n Passo 5Substituindo An=0 e o valor de Bn na série, obtemos u(x,t) = sumn=1^inftyBn,sin(omegant),sin!l(tfracnpiLxr) = sumn=1^infty2L^2n^2pi^2alpha(-1)^n sin!l(npialphaLtr)sin!l(npiLxr) Resposta u(x,t) = sumn=1^infty 2L^2n^2pi^2alpha(-1)^n sin!l(npialphaLtr) sin!l(npiLxr) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosIdentifique a curva determinando sua equação cartesiana. r=5 cos theta Suponha que lim x 0 f(x)x=2. Calcule lim x 0 f(4 x)5 x. Para isso, faça uma mudança de variável para aparecer o resultado que lhe for fornecido. Lembre que isso foi ensinado em sala de aula. Identifique a curva determinando sua equação cartesiana. r^2 sen 2 theta=1