4(1,5) Resolva a equação da Onda com problemas de PVI, pelo método da superposição, isto é, utilizando série de Fourier:
l alpha^2 partial^2 upartial x^2=partial^2 upartial t^2, 0<x<L, t>0 u(0, t)=0, u(L, t)=0, t>0 u(x, 0)=0,partial upartial t|t=0=-x, 0<x<L

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação da onda
alpha^2partial^2upartial x^2 = partial^2upartial t^2, 0<x<L,;t>0
com condições de contorno
u(0,t)=0,;u(L,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=0, ut(x,0)=-x
O método da superposição via série de Fourier nos leva a decompor u(x,t) em modos sin(npi x/L) e determinar coeficientes pela expansão da velocidade inicial.

Passo 2

Assumimos a solução por separação de variáveis em modos de x:
u(x,t) = sumn=1^inftyl[Ancos(omegant)+Bnsin(omegant)r]sin!l(tfracnpiLxr),
onde
omegan = npialphaL

Passo 3

Como u(x,0)=0, temos
u(x,0)=sumn=1^inftyAnsin!l(tfracnpiLxr)=0
para todo x. Isso implica An=0 para todo n.

Passo 4

A condição ut(x,0)=-x
ut(x,0)=sumn=1^inftyBn,omegan,sin!l(tfracnpiLxr)=-x
Expandimos -x em série de senos:
-x = sumn=1^inftybn,sin!l(tfracnpiLxr),
com
bn = 2Lintegral0^L(-x),sin!l(tfracnpiLxr),dx
Calculando a integral:
integral0^Lxsin!l(tfracnpiLxr),dx = -L^2npi(-1)^n,
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bn = -2Ll(-L^2npi(-1)^nr) = 2Lnpi(-1)^n
Daí Bn,omegan=bn, ou seja
Bn = bnomegan = tfrac2Lnpi(-1)^ntfracnpialphaL = 2L^2n^2pi^2alpha(-1)^n

Passo 5

Substituindo An=0 e o valor de Bn na série, obtemos
u(x,t) = sumn=1^inftyBn,sin(omegant),sin!l(tfracnpiLxr) = sumn=1^infty2L^2n^2pi^2alpha(-1)^n sin!l(npialphaLtr)sin!l(npiLxr)

Resposta

u(x,t) = sumn=1^infty 2L^2n^2pi^2alpha(-1)^n sin!l(npialphaLtr) sin!l(npiLxr)

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