Identifique a curva determinando sua equação cartesiana.
r^2 sen 2 theta=1

Passo 1

O enunciado dá a curva no sistema polar por
r^2sin2theta=1
Queremos identificar a curva e obter sua equação no sistema cartesiano, sabendo que
x = rcostheta, y = rsintheta
e usando a identidade sin2theta=2sinthetacostheta.

Passo 2

Substituindo a identidade em sin2theta temos
r^2sin2theta = 2r^2sinthetacostheta
Como rsintheta=y e rcostheta=x, isso vira
2r^2sinthetacostheta = 2xy = 1 Longrightarrow xy = tfrac12

Passo 3

A equação
xy = tfrac12
é a de uma hipérbole retangular (ou equilátera) com centro na origem e assíntotas nos eixos coordenados.

Resposta

xy = 12

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