Utilize transformada de Laplace para resolver a equação
onde
e
sujeita às condições:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de onda unidimensional
para
e
, sujeita às condições de contorno e iniciais:
Lista clara do que temos e do que se pede:
- Dados: a condição de contorno em
é (constante). - Dados: o comportamento para
é (constante). - Dados: condições iniciais são
e . - Pedido: encontrar
para .
Obs.: aceitaremos o enunciado como consistente no domínio
e usaremos transformada de Laplace em
para resolver.
Passo 2
Definição e propriedades úteis da transformada de Laplace (em
):
- Definição: para cada
fixo, a transformada de em é
- Propriedade para segunda derivada temporal: se
e são dados, então
Explicando: ao aplicar Laplace em
integra-se por partes duas vezes; as condições iniciais aparecem como termos de contorno em
.
- Observação prática: derivadas em
passam ao operador Laplace sobre sem alteração de : .
Vamos usar essas propriedades para transformar a PDE em uma ODE em
.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace em
à equação
obtemos, usando as propriedades acima,
Substituindo as condições iniciais
e
, isto fica
Portanto, para cada
fixo temos uma equação diferencial ordinária em
:
Passo 4
Resolvendo a ODE em
. Primeiro a homogênea:
tem soluções da forma
onde
e
são constantes (em
) que dependem de
.
Agora buscamos uma solução particular
para o termo do lado direito
. Como RHS é polinomial em
de grau
, tentamos uma forma polinomial:
Calculamos
. Substituindo na ODE:
Igualando coeficientes em potências de
:
- Coeficiente de
: → - Termo constante:
→
Logo a solução particular é
A solução geral em
é soma da homogênea com a particular:
Passo 5
Determinar
e
usando as condições de contorno transformadas.
Condição em
:
(constante). A transformada em
dá
Avalie
em
:
Logo
Condição no infinito:
. Em termos de transformada, para grandes
espera-se
pois transformar em
divide por
. Agora observe os termos exponenciais:
cresce sem controle quando
(para
, região de convergência da Laplace), o que não é compatível com o crescimento linear pedido. Logo devemos ter
caso contrário
teria crescimento exponencial em
. Substituindo em (1) obtemos
Portanto
Comentário rápido sobre a lógica:
foi escolhido para garantir o comportamento linear em
pedido pela condição no infinito;
permanece porque
decai quando
e não altera o termo linear dominante.
Passo 6
Inversão da transformada de Laplace para obter
.
Temos duas parcelas em
:
- A segunda parcela é simples:
. Como é mera multiplicação por (parâmetro), sua inversa é
Isto reproduz a condição inicial espacial linear em
.
- A primeira parcela usa o teorema do atraso (shift) para a transformada de Heaviside: para
,
onde
é a função degrau unitário. Assim, inversamente,
Multiplicando por
obtemos
Somando as duas partes, a solução no domínio do tempo é
Explicando em palavras: a solução é a soma de uma rampa espacial
(presente desde
) mais um degrau temporal que se propaga ao longo da característica
: para
esse degrau ainda não chegou, para
o valor em
sofre o acréscimo
.
Passo 7
Verificações rápidas (servem como técnica de prova e como checagem que eu faria na prova):
- Condições iniciais:
- Para
e , (degrau nulo para argumento negativo), então — ok. -
(derivada do degrau). Em e isto vale zero, então — ok.
- Para
- Condição em
, : -
(para adotamos ) — ok.
-
- Comportamento em
: -
— ok.
-
- Satisfaz a equação
em sentido de distribuições (computando as derivadas que envolvem e , vê-se que os termos se igualam, como pode ser verificado derivando em e em ).