Resolva os problemas de valores iniciais abaixo:
\left\{\begin{array}{l}5 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=0 \\\ y(0)=-1 \\\ y^{\prime}(0)=6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} 5\,y''+2\,y'=0,\\[4pt] y(0)=-1,\\[4pt] y'(0)=6. \end{cases}
A pergunta é: determinar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.]

Passo 2

Vamos primeiro pôr a equação diferencial numa forma mais simples dividindo ambos os lados por 5. Isso nos dá
y''+\frac{2}{5}y'=0.
Aqui y'' é a segunda derivada de y em relação a x e y' é a primeira derivada. Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes (como esta), uma técnica padrão é tentar uma solução da forma
y=e^{r x},
onde r é um número que vamos determinar. A razão dessa escolha é que exponenciais têm a propriedade de transformar derivadas em multiplicações por r, o que reduz a equação diferencial a uma equação algébrica (o chamado polinômio característico).

Passo 3

Substituindo y=e^{r x} na equação y''+\dfrac{2}{5}y'=0 obtemos
r^{2}e^{r x}+\frac{2}{5}r e^{r x}=0.
Como e^{r x}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{r x} e obter o polinômio característico
r^{2}+\frac{2}{5}r=0.
Fatorando:
r\left(r+\frac{2}{5}\right)=0.
Portanto as raízes são r_{1}=0 e r_{2}=-\dfrac{2}{5}. Para uma equação de segunda ordem com duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral é
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}.
Substituindo as raízes achadas:
y(x)=C_{1}e^{0\cdot x}+C_{2}e^{-2x/5}=C_{1}+C_{2}e^{-2x/5},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
y'(x)=0 + C_{2}\left(-\frac{2}{5}\right)e^{-2x/5}=-\frac{2}{5}C_{2}e^{-2x/5}.
Agora aplicamos x=0:
Para y(0)=-1:
y(0)=C_{1}+C_{2}=-1.
Para y'(0)=6:
y'(0)=-\frac{2}{5}C_{2}=6.
Da segunda equação isolamos C_{2}:
C_{2} = 6\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)=-15.
Substituindo em C_{1}+C_{2}=-1:
C_{1}-15=-1 \quad\Rightarrow\quad C_{1}=14.

Passo 5

Substituindo C_{1}=14 e C_{2}=-15 na solução geral, obtemos
y(x)=14-15e^{-2x/5}.
Vale a pena checar rapidamente as condições: y(0)=14-15=-1 e y'(x)= -15\cdot\left(-\dfrac{2}{5}\right)e^{-2x/5}=6e^{-2x/5}, assim y'(0)=6. Também, ao calcular 5y''+2y' com essa solução obtemos zero, confirmando que satisfaz a equação diferencial.

Resposta

y(x)=14-15e^{-2x/5}

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