A pergunta é: determinar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.]
Passo 2
Vamos primeiro pôr a equação diferencial numa forma mais simples dividindo ambos os lados por 5. Isso nos dá
y''+\frac{2}{5}y'=0.
Aqui y'' é a segunda derivada de y em relação a x e y' é a primeira derivada. Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes (como esta), uma técnica padrão é tentar uma solução da forma
y=e^{r x},
onde r é um número que vamos determinar. A razão dessa escolha é que exponenciais têm a propriedade de transformar derivadas em multiplicações por r, o que reduz a equação diferencial a uma equação algébrica (o chamado polinômio característico).
Passo 3
Substituindo y=e^{r x} na equação y''+\dfrac{2}{5}y'=0 obtemos
r^{2}e^{r x}+\frac{2}{5}r e^{r x}=0.
Como e^{r x}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{r x} e obter o polinômio característico
r^{2}+\frac{2}{5}r=0.
Fatorando:
r\left(r+\frac{2}{5}\right)=0.
Portanto as raízes são r_{1}=0 e r_{2}=-\dfrac{2}{5}. Para uma equação de segunda ordem com duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral é
Substituindo C_{1}=14 e C_{2}=-15 na solução geral, obtemos
y(x)=14-15e^{-2x/5}.
Vale a pena checar rapidamente as condições: y(0)=14-15=-1 e y'(x)= -15\cdot\left(-\dfrac{2}{5}\right)e^{-2x/5}=6e^{-2x/5}, assim y'(0)=6. Também, ao calcular 5y''+2y' com essa solução obtemos zero, confirmando que satisfaz a equação diferencial.