Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada da seguinte função:
f(x)=sin (raizx+1)ln (5 x^6+2 x^4)

Passo 1

O enunciado pede pra derivar a função f(x)=sin(raizx+1)ln(5x^6+2x^4) usando a regra da cadeia (porque dentro de sin tem raizx+1 e dentro de ln tem um polinômio) juntamente com a regra do quociente. Vamos chamar o numerador de N(x)=sin(raizx+1) e o denominador de D(x)=ln(5x^6+2x^4). A regra do quociente diz que
f'(x)=N'(x),D(x)-N(x),D'(x)[D(x)]^2

Passo 2

Para achar N'(x), note que é uma composição de sin(u) com u=raizx+1=(x+1)^1/2. Usando a regra da cadeia:
  1. Derivada de sin(u) é cos(u)cdot u'.
  2. Derivada de u=(x+1)^1/2 é u'=tfrac12(x+1)^-1/2=tfrac12raizx+1.
    Logo,
N'(x)=cos(raizx+1)cdot12raizx+1

Passo 3

Para achar D'(x), observe que D(x)=ln(v) com v=5x^6+2x^4. Novamente, regra da cadeia:
  1. Derivada de ln(v) é v'/v.
  2. Derivada de v=5x^6+2x^4 é v'=30x^5+8x^3.
    Logo,
D'(x)=30x^5+8x^35x^6+2x^4

Passo 4

Agora basta substituir N'(x), N(x), D'(x) e D(x) na fórmula do quociente: Em resumo, obtemos

Resposta

f'(x)=cos(raizx+1),12raizx+1,ln(5x^6+2x^4)-sin(raizx+1),30x^5+8x^35x^6+2x^4[ln(5x^6+2x^4)]^2

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