Resolva a equação f(x)=0 onde f(x)=\operatorname{det}(A-x I) e a matriz A é a seguinte:
\left(\begin{array}{ccc}-2 & 2 & -2 \\\\ 2 & 1 & -4 \\\\ -2 & -4 & 1\end{array}\right);

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação f(x)=0, onde f(x)=\det(A-xI) e a matriz A é
A=\begin{pmatrix}-2 & 2 & -2 \\[4pt] 2 & 1 & -4 \\[4pt] -2 & -4 & 1\end{pmatrix}.
Informações dadas:
  • A matriz A é 3\times3.
  • A função f(x) é o determinante da matriz A-xI, isto é, o polinômio característico de A.
    O que é pedido:
  • Encontrar todos os valores de x (reais) tais que f(x)=0.]

Passo 2

Escrever a matriz A-xI. Aqui I é a matriz identidade 3\times3 e x é a variável escalar. Subtraindo x da diagonal de A obtemos
A-xI=\begin{pmatrix}-2-x & 2 & -2 \\[4pt] 2 & 1-x & -4 \\[4pt] -2 & -4 & 1-x\end{pmatrix}.
Para calcular f(x)=\det(A-xI) vou usar a fórmula do determinante de uma matriz 3\times3:
\det(B)=b_{11}(b_{22}b_{33}-b_{23}b_{32})-b_{12}(b_{21}b_{33}-b_{23}b_{31})+b_{13}(b_{21}b_{32}-b_{22}b_{31}),
onde b_{ij} é o elemento da linha i e coluna j da matriz B. No nosso caso B=A-xI.]

Passo 3

Identificar os elementos de A-xI como b_{11}=-2-x, b_{12}=2, b_{13}=-2, b_{21}=2, b_{22}=1-x, b_{23}=-4, b_{31}=-2, b_{32}=-4, b_{33}=1-x.
Calcular os menores que aparecem na fórmula:
M_{11}=b_{22}b_{33}-b_{23}b_{32}=(1-x)(1-x)-(-4)(-4)=(1-x)^2-16.
M_{12}=b_{21}b_{33}-b_{23}b_{31}=2(1-x)-(-4)(-2)=2(1-x)-8.
M_{13}=b_{21}b_{32}-b_{22}b_{31}=2(-4)-(1-x)(-2)=-8+2(1-x).
Simplificar M_{12} e M_{13}:
M_{12}=2-2x-8=-6-2x, \qquad M_{13}=-8+2-2x=-6-2x.
Logo M_{12}=M_{13}=-6-2x. Também expandir M_{11}:
M_{11}=(1-x)^2-16=1-2x+x^2-16=x^2-2x-15.

Passo 4

Aplicar a fórmula do determinante:
f(x)=\det(A-xI)=b_{11}M_{11}-b_{12}M_{12}+b_{13}M_{13}.
Substituindo os valores:
f(x)=(-2-x)(x^2-2x-15)-2(-6-2x)+(-2)(-6-2x).
Reorganizar os dois últimos termos: -2(-6-2x)+(-2)(-6-2x)=( -2 + (-2) )(-6-2x)=(-4)(-6-2x). Portanto
f(x)=(-2-x)(x^2-2x-15)-4(-6-2x).
Agora expandir e simplificar passo a passo. Primeiro o produto:
(-2-x)(x^2-2x-15)=-x^3+19x+30.
(Detalhe da expansão: (-2)(x^2-2x-15)=-2x^2+4x+30 e -x(x^2-2x-15)=-x^3+2x^2+15x; somando dá -x^3+19x+30.)
Agora o segundo termo:
-4(-6-2x)=24+8x.
Somando os dois resultados:
f(x)=(-x^3+19x+30)+(24+8x)=-x^3+27x+54.
Como equação f(x)=0 é equivalente a
-x^3+27x+54=0,
ou multiplicando por -1,
x^3-27x-54=0.

Passo 5

Resolver o polinômio cúbico x^3-27x-54=0. Pelo Teorema das raízes racionais, possíveis raízes inteiras divisoras de 54 são \pm1,\pm2,\pm3,\pm6,\pm9,\pm18,\pm27,\pm54. Testar alguns valores fáceis:
x=6:\quad 6^3-27\cdot6-54=216-162-54=0,
portanto x=6 é uma raiz. Fazer a divisão do polinômio por (x-6) (divisão sintética ou longa). Coeficientes de x^3+x^2+x+ são 1,0,-27,-54. Usando divisão por x-6 obtém-se quociente
x^2+6x+9.
Verificar que
x^2+6x+9=(x+3)^2.
Logo o polinômio fatoriza como
x^3-27x-54=(x-6)(x+3)^2.

Passo 6

Das fatores obtemos as raízes da equação f(x)=0:
  • x=6 (raiz simples),
  • x=-3 (raiz dupla, multiplicidade 2).
Pequeno incentivo: ótimo trabalho por chegar até aqui — encontrar uma raiz inteira como 6 é uma boa pista em provas para fatorar o polinômio e terminar rápido.

Resposta

x=6
x=-3 (multiplicidade 2)

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