Resolva a equação f(x)=0 onde f(x)=\operatorname{det}(A-x I) e a matriz A é a seguinte: \left(\begin{array}{ccc}-2 & 2 & -2 \\\\ 2 & 1 & -4 \\\\ -2 & -4 & 1\end{array}\right);
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação f(x)=0, onde f(x)=\det(A-xI) e a matriz A é
Reorganizar os dois últimos termos: -2(-6-2x)+(-2)(-6-2x)=( -2 + (-2) )(-6-2x)=(-4)(-6-2x). Portanto
f(x)=(-2-x)(x^2-2x-15)-4(-6-2x).
Agora expandir e simplificar passo a passo. Primeiro o produto:
(-2-x)(x^2-2x-15)=-x^3+19x+30.
(Detalhe da expansão: (-2)(x^2-2x-15)=-2x^2+4x+30 e -x(x^2-2x-15)=-x^3+2x^2+15x; somando dá -x^3+19x+30.)
Agora o segundo termo:
-4(-6-2x)=24+8x.
Somando os dois resultados:
f(x)=(-x^3+19x+30)+(24+8x)=-x^3+27x+54.
Como equação f(x)=0 é equivalente a
-x^3+27x+54=0,
ou multiplicando por -1,
x^3-27x-54=0.
Passo 5
Resolver o polinômio cúbico x^3-27x-54=0. Pelo Teorema das raízes racionais, possíveis raízes inteiras divisoras de 54 são \pm1,\pm2,\pm3,\pm6,\pm9,\pm18,\pm27,\pm54. Testar alguns valores fáceis:
x=6:\quad 6^3-27\cdot6-54=216-162-54=0,
portanto x=6 é uma raiz. Fazer a divisão do polinômio por (x-6) (divisão sintética ou longa). Coeficientes de x^3+x^2+x+ são 1,0,-27,-54. Usando divisão por x-6 obtém-se quociente
x^2+6x+9.
Verificar que
x^2+6x+9=(x+3)^2.
Logo o polinômio fatoriza como
x^3-27x-54=(x-6)(x+3)^2.
Passo 6
Das fatores obtemos as raízes da equação f(x)=0:
x=6 (raiz simples),
x=-3 (raiz dupla, multiplicidade 2).
Pequeno incentivo: ótimo trabalho por chegar até aqui — encontrar uma raiz inteira como 6 é uma boa pista em provas para fatorar o polinômio e terminar rápido.