Resolva a equação f(x)=0 onde f(x)=\operatorname{det}(A-x I) e a matriz A é a seguinte:
\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0\end{array}\right);

Passo 1

O que o problema pede: resolver a equação \,f(x)=0\, onde \,f(x)=\det(A-xI).
Informações dadas (peguei estes números do enunciado):
  • A matriz A é
A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & 0\end{pmatrix}.
  • I é a matriz identidade 3\times3.]

Passo 2

Definição e objetivo prático: a função característica é \,f(x)=\det(A-xI). Para construir A-xI subtraímos x da diagonal de A. Escrevendo a matriz:
A-xI=\begin{pmatrix}0-x & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1-x & 0 \\[4pt] 1 & 0 & 0-x\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-x & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1-x & 0 \\[4pt] 1 & 0 & -x\end{pmatrix}.]

Passo 3

Lembrete rápido sobre determinante usado aqui:
  • Para uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} tem-se \det=\,ad-bc.
  • Para uma matriz 3\times3 pode-se calcular por expansão por cofatores: escolhe-se uma linha (ou coluna) e soma-se cada elemento vezes seu cofator. É útil escolher uma linha com zeros para simplificar.
Na nossa matriz a segunda linha é (0,\;1-x,\;0), tem dois zeros, então a expansão por cofatores pela segunda linha fica muito simples:
\det(A-xI)=(1-x)\cdot C_{22},
onde C_{22} é o cofator correspondente ao elemento (2,2). Como os outros dois elementos da linha são zero, seus termos desaparecem.

Passo 4

Calcular o cofator C_{22}: é (-1)^{2+2} vezes o determinante da submatriz obtida apagando linha 2 e coluna 2, ou seja da matriz 2\times2
\begin{pmatrix}-x & 1 \\[4pt] 1 & -x\end{pmatrix}.
Como (-1)^{4}=1, temos
C_{22}=\det\begin{pmatrix}-x & 1 \\[4pt] 1 & -x\end{pmatrix}=(-x)(-x)-1\cdot1 = x^{2}-1.
Portanto
f(x)=\det(A-xI)=(1-x)\,(x^{2}-1).]

Passo 5

Fatorando o polinômio x^{2}-1 como diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Assim
f(x)=(1-x)(x-1)(x+1).
Obs.: (1-x)(x-1)=-(x-1)^{2}, então uma forma prática é
f(x)=-(x-1)^{2}(x+1).

Passo 6

Resolver \,f(x)=0\, significa achar x tais que algum fator do produto seja zero. Dos fatores identificados:
(1-x)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1,
(x-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1,
(x+1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-1.
Portanto as raízes são x=1 (raiz de multiplicidade 2) e x=-1 (raiz simples).

Resposta

x=1 (multiplicidade 2)
x=-1

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