Resolva a equação f(x)=0 onde f(x)=\operatorname{det}(A-x I) e a matriz A é a seguinte: \left(\begin{array}{ccc}4 & -2 & 2 \\\\ -5 & 7 & -5 \\\\ -6 & 6 & -4\end{array}\right);
Agora vou calcular o determinante dessa matriz. Uma forma direta é desenvolver pela primeira linha (regra de Sarrus não serve para simbólico; usar a expansão por cofatores é claro e direto). A expansão pela primeira linha é
Uma técnica prática para raízes racionais é o Teorema das Raízes Racionais: possíveis raízes inteiras são divisores de 12: \pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12. Testo alguns valores simples começando por x=1,2,3.
Calculo:
p(1)=1-7+16-12=-2\quad(\text{não é raiz}),ãé
p(2)=8-28+32-12=0\quad(\text{é raiz}).é
Como x=2 é raiz, (x-2) é fator. Faço a divisão polinomial (ou sintética) de p(x) por (x-2). Coeficientes de p: 1,\,-7,\,16,\,-12.
Trazer 1 (coeficiente líder).
Multiplicar por 2 dá 2; somar a -7 → -5.
Multiplicar por 2 dá -10; somar a 16 → 6.
Multiplicar por 2 dá 12; somar a -12 → 0 (resto zero, confirma divisão exata).
O quociente é x^2-5x+6. Logo
p(x)=(x-2)(x^2-5x+6).
Passo 6
Factoring o quadrático x^2-5x+6. Procuro dois números que multipliquem +6 e somem -5: são -2 e -3. Assim
x^2-5x+6=(x-2)(x-3).
Então o polinômio completo fatoriza como
p(x)=(x-2)(x-2)(x-3)=(x-2)^2(x-3).
Passo 7
Conclusão sobre as soluções de f(x)=0: as raízes são x=2 e x=3. A raiz x=2 tem multiplicidade algébrica 2 (aparece duas vezes no fator (x-2)^2), e x=3 tem multiplicidade 1.