Resolva a equação f(x)=0 onde f(x)=\operatorname{det}(A-x I) e a matriz A é a seguinte:
\left(\begin{array}{ccc}4 & -2 & 2 \\\\ -5 & 7 & -5 \\\\ -6 & 6 & -4\end{array}\right);

Passo 1

O enunciado pede para resolver f(x)=0 onde
f(x)=\det(A-xI)
e a matriz A dada é
A=\begin{pmatrix}4 & -2 & 2 \\\\ -5 & 7 & -5 \\\\ -6 & 6 & -4\end{pmatrix}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função f é o determinante da matriz A-xI.
  • A matriz identidade I tem 1s na diagonal e 0s fora.
  • Precisamos encontrar todos os valores de x tais que \det(A-xI)=0 (essas são as raízes do polinômio característico).

Passo 2

Primeiro escrevo a matriz A-xI. Subtrair x na diagonal significa:
A-xI=\begin{pmatrix}4-x & -2 & 2 \\\\ -5 & 7-x & -5 \\\\ -6 & 6 & -4-x\end{pmatrix}.
Agora vou calcular o determinante dessa matriz. Uma forma direta é desenvolver pela primeira linha (regra de Sarrus não serve para simbólico; usar a expansão por cofatores é claro e direto). A expansão pela primeira linha é
\det(A-xI)=(4-x)\,M_{11} -(-2)\,M_{12} + 2\,M_{13},
onde M_{1j} são os determinantes das submatrizes (minores) obtidas removendo a linha 1 e coluna j.

Passo 3

Calculo os três menores um a um.
Menor M_{11} (remove linha 1 e coluna 1):
M_{11}=\det\begin{pmatrix}7-x & -5 \\\\ 6 & -4-x\end{pmatrix}=(7-x)(-4-x)-(-5)\cdot 6.
Faço a multiplicação e simplificação: (7-x)(-4-x)=x^2-3x-28 (expandindo) e -(-5)\cdot6=+30. Logo
M_{11}=x^2-3x-28+30=x^2-3x+2.
Menor M_{12} (remove linha 1 e coluna 2):
M_{12}=\det\begin{pmatrix}-5 & -5 \\\\ -6 & -4-x\end{pmatrix}=(-5)(-4-x)-(-5)(-6).
Calculo: (-5)(-4-x)=20+5x e (-5)(-6)=30. Então
M_{12}=20+5x-30=5x-10=5(x-2).
Menor M_{13} (remove linha 1 e coluna 3):
M_{13}=\det\begin{pmatrix}-5 & 7-x \\\\ -6 & 6\end{pmatrix}=(-5)\cdot 6 - (7-x)(-6).
Calculo: (-5)\cdot6=-30 e (7-x)(-6)=-42+6x, com sinal menos resulta -30 -(-42+6x)=-30+42-6x=12-6x. Logo
M_{13}=12-6x=-6(x-2).

Passo 4

Substituo os menores na expansão do determinante:
\det(A-xI)=(4-x)(x^2-3x+2) -(-2)(5x-10) + 2(12-6x).
Agora simplifico termo a termo.
Primeiro termo:
(4-x)(x^2-3x+2)=4(x^2-3x+2)-x(x^2-3x+2)=-x^3+7x^2-14x+8.
Segundo termo:
-(-2)(5x-10)=+2(5x-10)=10x-20.
Terceiro termo:
2(12-6x)=24-12x.
Somando tudo:
\det(A-xI)=-x^3+7x^2-14x+8+10x-20+24.
Agrupando termos semelhantes:
\det(A-xI)=-x^3+7x^2-16x+12.
É comum escrever o polinômio característico como monico (coeficiente líder positivo). Multiplico por -1 (isso não altera as raízes de f(x)=0):
f(x)=\det(A-xI)= -x^3+7x^2-16x+12 \quad\Longrightarrow\quad x^3-7x^2+16x-12=0.

Passo 5

Agora resolvo o polinômio cúbico
p(x)=x^3-7x^2+16x-12.
Uma técnica prática para raízes racionais é o Teorema das Raízes Racionais: possíveis raízes inteiras são divisores de 12: \pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12. Testo alguns valores simples começando por x=1,2,3.
Calculo:
p(1)=1-7+16-12=-2\quad(\text{não é raiz}),ãé
p(2)=8-28+32-12=0\quad(\text{é raiz}).é
Como x=2 é raiz, (x-2) é fator. Faço a divisão polinomial (ou sintética) de p(x) por (x-2). Coeficientes de p: 1,\,-7,\,16,\,-12.
  • Trazer 1 (coeficiente líder).
  • Multiplicar por 2 2; somar a -7 -5.
  • Multiplicar por 2 -10; somar a 16 6.
  • Multiplicar por 2 12; somar a -12 0 (resto zero, confirma divisão exata).
O quociente é x^2-5x+6. Logo
p(x)=(x-2)(x^2-5x+6).

Passo 6

Factoring o quadrático x^2-5x+6. Procuro dois números que multipliquem +6 e somem -5: são -2 e -3. Assim
x^2-5x+6=(x-2)(x-3).
Então o polinômio completo fatoriza como
p(x)=(x-2)(x-2)(x-3)=(x-2)^2(x-3).

Passo 7

Conclusão sobre as soluções de f(x)=0: as raízes são x=2 e x=3. A raiz x=2 tem multiplicidade algébrica 2 (aparece duas vezes no fator (x-2)^2), e x=3 tem multiplicidade 1.

Resposta

x=2 (multiplicidade 2)
x=3 (multiplicidade 1)

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