Resolva as equaçöes:
3^{x^{3}-x-3}=27

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
3^{\,x^{3}-x-3}=27
Este é um problema de equações exponenciais com base 3. Para resolver, vamos usar a propriedade de que, se a^{A}=a^{B} com a>0 e a\neq1, então A=B.

Passo 2

Observamos que 27 pode ser escrito como potência de 3, pois
27 = 3^{3}.
Logo, a equação fica
3^{\,x^{3}-x-3} = 3^{3}.
Pela propriedade de igualdade de potências com mesma base, igualamos os expoentes:
x^{3}-x-3 = 3.

Passo 3

Passamos todos os termos para um lado e obtemos um polinômio do terceiro grau:
x^{3} - x - 3 - 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{3} - x - 6 = 0.
Para resolver x^{3}-x-6=0, aplicamos o Teorema das Raízes Racionais, que diz que todo divisor de 6 pode ser candidato a raiz inteira.

Passo 4

Testamos possíveis raízes \pm1,\pm2,\pm3,\pm6.
Substituindo x=2:
2^{3} - 2 - 6 = 8 - 2 - 6 = 0,
logo x=2 é raiz do polinômio.

Passo 5

Dividimos x^{3}-x-6 por (x-2) para obter o fator restante:
x^{3}-x-6 = (x-2)\bigl(x^{2}+2x+3\bigr).
A equação x^{2}+2x+3=0 tem discriminante
\Delta = 2^{2} - 4\cdot1\cdot3 = 4 - 12 = -8 < 0,
portanto gera raízes complexas \displaystyle x=-1\pm i\sqrt{2}.

Passo 6

Se considerarmos somente soluções reais, a única é
x = 2.
Se o domínio incluir os complexos, as soluções são
x = 2,\quad x=-1 + i\sqrt{2},\quad x=-1 - i\sqrt{2}.

Resposta

A solução real é
x = 2.
Se o domínio for \mathbb{C}, as soluções são
x = 2,\quad x=-1 \pm i\sqrt{2}.

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