Resolva a equação de Ricatti
\frac{d y}{d x}=2-2 x y+y^{2}
com y1 = 2x uma solução particular da equação.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Riccati
\frac{d y}{d x}=2 - 2\,x\,y + y^{2}
sabendo que uma solução particular é \,y_{1}(x)=2x.
O conteúdo é “redução de Riccati a equação linear” usando a substituição
y = y_{1} + \frac{1}{u}.

Passo 2

Fazemos a substituição
y = 2x + \frac{1}{u(x)}.
Calculamos dy/dx pela regra da soma e da cadeia:
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(u^{-1}\bigr) = 2 - \frac{u'}{u^{2}}.

Passo 3

Substituímos no lado direito da Riccati:
2 - \frac{u'}{u^{2}} \;=\;2 - 2x\Bigl(2x + \frac{1}{u}\Bigr) + \Bigl(2x + \frac{1}{u}\Bigr)^{2}.
Expandindo o lado direito,
2 - 2x\cdot 2x - \frac{2x}{u} + 4x^{2} + \frac{4x}{u} + \frac{1}{u^{2}} = 2 - 4x^{2} - \frac{2x}{u} + 4x^{2} + \frac{4x}{u} + \frac{1}{u^{2}} = 2 + \frac{2x}{u} + \frac{1}{u^{2}}.
Como 2 cancela com o 2 do lado esquerdo, igualamos
-\,\frac{u'}{u^{2}} = \frac{2x}{u} + \frac{1}{u^{2}}.
Multiplicando por -u^{2} obtemos uma equação linear em u:
u' + 2x\,u + 1 = 0.

Passo 4

Resolvemos
u' + 2x\,u = -1.
O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int 2x\,dx} = e^{x^{2}}.
Multiplicando a equação por \mu,
\frac{d}{dx}\bigl(u\,e^{x^{2}}\bigr) = -\,e^{x^{2}}.
Integramos:
u\,e^{x^{2}} = -\int e^{x^{2}}\,dx + C,
onde C é constante arbitrária. Portanto
u(x) = e^{-x^{2}}\Bigl(-\!\int_{x_{0}}^{x}e^{t^{2}}dt + C\Bigr).
Para simplificar, podemos chamar
\displaystyle A = C - \int_{x_{0}}^{0}e^{t^{2}}dt
e escrever
u(x) = e^{-x^{2}}\bigl(A - \int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt\bigr).

Passo 5

Voltando à variável y,
y(x) = 2x + \frac{1}{u(x)} = 2x + \frac{1}{e^{-x^{2}}\bigl(A - \int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt\bigr)} = 2x + \frac{e^{x^{2}}}{A - \displaystyle\int_{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt}.

Resposta

A solução geral é
\boxed{y(x) = 2x + \frac{e^{x^{2}}}{A - \displaystyle\int_{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt},}
onde A é constante de integração.

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