Resolva as equações de Bernoulli
\mathrm{xy}^{\prime}-\mathrm{y}=\frac{x^{2}}{y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Bernoulli
x\,y' - y = \frac{x^2}{y^2}.
O conteúdo aqui é equações de Bernoulli, que têm a forma
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^n.
Para resolver, vamos passar para a forma padrão dividindo por x e depois usar a substituição apropriada.

Passo 2

Dividindo a equação original por x (supondo x\neq0), obtemos
y' - \frac1x\,y = \frac{x}{y^2}.
Aqui identificamos
P(x) = -\frac1x, \quad Q(x) = x, \quad n = -2.

Passo 3

Para uma equação de Bernoulli y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^n com n\neq0,1, fazemos a substituição
u = y^{1 - n}.
No nosso caso n=-2, logo
u = y^{1 - (-2)} = y^3.

Passo 4

Calculamos a derivada de u em relação a x:
u' = \frac{d}{dx}(y^3) = 3\,y^2\,y'.
Como da forma padrão temos y' = \frac1x\,y + \frac{x}{y^2}, substituímos em u':

Passo 5

u' = 3\,y^2\Bigl(\frac{y}{x} + \frac{x}{y^2}\Bigr) = 3\,\frac{y^3}{x} + 3\,x.
Mas y^3 = u, então
u' = \frac{3}{x}\,u + 3\,x \quad\Longrightarrow\quad u' - \frac{3}{x}\,u = 3\,x.
Esta é agora uma equação linear de primeira ordem em u.

Passo 6

Para resolver
u' - \frac{3}{x}\,u = 3\,x,
calculamos o fator integrante
\mu(x) = e^{\int -\frac{3}{x}\,dx} = e^{-3\ln|x|} = x^{-3}.
Multiplicando a equação por \mu(x)
x^{-3}u' - 3\,x^{-4}u = 3\,x^{-2},
que é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-3}u\bigr) = 3\,x^{-2}.

Passo 7

Integramos ambos os lados em x:
x^{-3}u = \int 3\,x^{-2}\,dx = -3\,x^{-1} + C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por x^3,
u = -3\,x^2 + C\,x^3.

Passo 8

Voltando à variável original y, lembramos que u = y^3. Logo
y^3 = -3\,x^2 + C\,x^3 = x^2\bigl(C\,x - 3\bigr).
Portanto
y = \bigl[x^2\,(C\,x - 3)\bigr]^{\!1/3}.

Resposta

y(x) = \bigl[x^2\,(C\,x - 3)\bigr]^{\!1/3},
onde C é constante arbitrária.

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