Resolva as equações de Bernoulli
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Bernoulli
O conteúdo aqui é equações de Bernoulli, que têm a forma
Para resolver, vamos passar para a forma padrão dividindo por
e depois usar a substituição apropriada.
Passo 2
Dividindo a equação original por
(supondo
), obtemos
Aqui identificamos
Passo 3
Para uma equação de Bernoulli
com
, fazemos a substituição
No nosso caso
, logo
Passo 4
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Como da forma padrão temos
, substituímos em
:
Passo 5
Mas
, então
Esta é agora uma equação linear de primeira ordem em
.
Passo 6
Para resolver
calculamos o fator integrante
Multiplicando a equação por
dá
que é
Passo 7
Integramos ambos os lados em
:
onde
é constante de integração. Multiplicando por
,
Passo 8
Voltando à variável original
, lembramos que
. Logo
Portanto
Resposta
onde
é constante arbitrária.