Resolva as seguintes integrais:
b) integral0^L x sin ^2(x) d x

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é a integral
integral0^L x ,sin^2(x),dx
Isso cai no conteúdo de integrais de funções trigonométricas. Para resolver vamos precisar de duas coisas:
  1. A identidade trigonométrica sin^2(x) = tfrac1 - cos(2x)2.
  2. A técnica de integração por partes, que vem da fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Primeiro, aplica a identidade embaixo do integral:
sin^2(x) = 1 - cos(2x)2
Então
integral0^L x,sin^2(x),dx = integral0^L x,1 - cos(2x)2,dx = 12integral0^L x,dx - 12integral0^L x,cos(2x),dx

Passo 3

Vamos calcular a primeira parte, que é simples:
integral0^L x,dx = l[tfracx^22r]0^L = L^22
Multiplicando por tfrac12, dá
12integral0^L x,dx = L^24

Passo 4

Agora a parte integral0^L x,cos(2x),dx.
Usa integração por partes:
  • Escolhe u = x du = dx.
  • Escolhe dv = cos(2x),dx v = integral cos(2x),dx = tfrac12sin(2x).
Pela fórmula:
integral xcos(2x),dx = xcdot12sin(2x) - integral 12sin(2x),dx = x2sin(2x) - 12l(-tfrac12cos(2x)r) = x2sin(2x) + 14cos(2x)
Avalia de 0 a L:
integral0^L xcos(2x),dx = l[tfracx2sin(2x)+tfrac14cos(2x)r]0^L = L2sin(2L) + 14l(cos(2L)-1r)
Como no Passo 2 tem um -tfrac12 multiplicando, essa parte vira
- 12integral0^L xcos(2x),dx = -12l[L2sin(2L) + 14(cos(2L)-1)r] = -L4sin(2L) - 18l(cos(2L)-1r)

Passo 5

Juntando tudo:
integral0^L xsin^2(x),dx = L^24 + l[-L4sin(2L) - 18(cos(2L)-1)r]
Distribuindo e simplificando a parte constante:
= L^24 - L4sin(2L) - 18cos(2L) + 18 = 2L^2+18 - L4sin(2L) - 18cos(2L)

Resposta

boxed integral0^L xsin^2(x),dx = 2L^2+18 - L4,sin(2L) - 18,cos(2L)

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