Resolva as seguintes integrais:
a) integral0^L x^2 sin (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^L x^2,sin(x),dx
Estamos em Cálculo Integral e vamos usar a técnica de integração por partes, que se baseia na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Para encontrar uma antiderivada de x^2sin(x), escolhemos
u = x^2, dv = sin(x),dx
então
du = 2x,dx, v = -cos(x)
Aplicando por partes:
integral x^2sin(x),dx = -x^2cos(x) - integral l(-cos(x)r),2x,dx = -x^2cos(x) + 2integral x,cos(x),dx
Agora aplicamos partes de novo em integral xcos(x),dx, com
u1=x, dv1=cos(x),dx ;Longrightarrow; du1=dx, v1=sin(x),
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integral xcos(x),dx = xsin(x) - integral sin(x),dx = xsin(x) + cos(x)
Substituindo de volta:
integral x^2sin(x),dx = -x^2cos(x) + 2l(xsin(x) + cos(x)r) + C = -x^2cos(x) + 2xsin(x) + 2cos(x) + C

Passo 3

Agora aplicamos os limites de 0 a L. Seja
F(x) = -x^2cos(x) + 2xsin(x) + 2cos(x)
Então
integral0^L x^2sin(x),dx = F(L) - F(0)
Calculando:
F(L) = -L^2cos(L) + 2Lsin(L) + 2cos(L), F(0) = -0^2cos(0) + 2cdot0sin(0) + 2cos(0) = 2
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integral0^L x^2sin(x),dx = l(-L^2cos(L) + 2Lsin(L) + 2cos(L)r) - 2

Passo 4

Bastando rearranjar, obtemos a forma mais enxuta:
integral0^L x^2sin(x),dx = -L^2cos(L) + 2Lsin(L) + 2l(cos(L) - 1r)

Resposta

boxedintegral0^L x^2sin(x),dx = -L^2cos(L) + 2Lsin(L) + 2l(cos(L) - 1r)

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