Resolva a equação usando a transformada de Laplace
y^prime prime-4 y^prime+4 y=r^3 e^2 t, y(0)
=0, y^prime(0)=0

Passo 1

A equação diferencial é y'' - 4y' + 4y = r^3 e^2t com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. O conteúdo principal aqui é usar a transformada de Laplace para transformar a EDO em uma equação algébrica e depois inverter a transformada para obter y(t).

Passo 2

Chamamos Ly(t)=Y(s) e aplicamos a transformada em cada termo. Usando as propriedades de transformada de derivadas e de exponencial, temos:
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
L-4y'=-4l[sY(s)-y(0)r],
L4y=4Y(s),
Lr^3e^2t=r^3s-2

Passo 3

Substituindo as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0 e somando tudo, obtemos:
l[s^2Y(s)-0-0r];- 4l[sY(s)-0r];+4Y(s) =r^3s-2

Passo 4

Agrupando Y(s) no lado esquerdo:
Y(s)l(s^2-4s+4r)=r^3s-2

Passo 5

Observamos que s^2-4s+4=(s-2)^2. Assim
Y(s)=r^3(s-2)(s-2)^2=r^3(s-2)^3

Passo 6

Na tabela de transformadas, sabemos que
Lt^2e^2t=2(s-2)^3

Passo 7

Logo podemos escrever
Y(s)=r^32cdot2(s-2)^3

Passo 8

e, invertendo a transformada de Laplace, chega-se a:
y(t)=r^32,t^2e^2t

Resposta

y(t)=r^32t^2e^2t

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