Calcule as integrais a seguir utilizando substituição trigonométrica.
integral d x(x^2+2)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral dx(x^2+2)^2 usando substituição trigonométrica. O conteúdo envolvido é a técnica de integração por substituição trigonométrica, e vamos precisar usar a identidade 1+tan^2theta=sec^2theta.

Passo 2

Fazemos a substituição x=raiz2,tantheta, logo dx=raiz2,sec^2theta,dtheta e x^2+2=2tan^2theta+2=2sec^2theta. Assim
dx(x^2+2)^2=raiz2,sec^2theta,dtheta(2sec^2theta)^2=raiz2,sec^2theta4sec^4theta,dtheta=raiz24cos^2theta,dtheta

Passo 3

Usamos a identidade cos^2theta=tfrac1+cos2theta2. Então a integral vira
raiz24integralcos^2theta,dtheta=raiz24integral1+cos2theta2,dtheta=raiz28integral(1+cos2theta),dtheta

Passo 4

Integramos em theta:
raiz28l(theta+tfrac12sin2thetar)+C

Passo 5

Voltamos a x sabendo que theta=arctan(x/raiz2) e sin2theta=2sinthetacostheta=2xraizx^2+2raiz2raizx^2+2=2raiz2,xx^2+2 Portanto
raiz28arctanl(xraiz2r)+raiz28cdot12cdot2raiz2,xx^2+2+C =raiz28arctanl(xraiz2r)+x4(x^2+2)+C

Resposta

x4(x^2+2)+raiz28arctanl(xraiz2r)+C

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