Resolva a equação
, sabendo que suas raízes estão em P.A.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação cúbica
sabendo que suas três raízes estão em progressão aritmética.
O conteúdo principal é usar as relações de Viète para somas e produtos de raízes de polinômios e modelar uma P.A. de três termos.
O conteúdo principal é usar as relações de Viète para somas e produtos de raízes de polinômios e modelar uma P.A. de três termos.
Passo 2
Denotemos as raízes por
em P.A. de razão
. Então existe um valor
tal que
Passo 3
Pela relação de Viète para soma das raízes de um polinômio monico temos
Substituindo as expressões em
e
:
logo
Passo 4
Pela relação de Viète para o produto das raízes de um cúbico monico:
Substituindo
,
,
dá
Isso leva a
Passo 5
Da equação
obtemos
. Assim as três raízes são
isto é
Resposta
As raízes da equação são
,
e
.