Resolva a equação x^{3}-9 x^{2}+23 x-15=0, sabendo que suas raízes estão em P.A.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação cúbica
x^{3} - 9x^{2} + 23x - 15 = 0
sabendo que suas três raízes estão em progressão aritmética.
O conteúdo principal é usar as relações de Viète para somas e produtos de raízes de polinômios e modelar uma P.A. de três termos.

Passo 2

Denotemos as raízes por r_{1},r_{2},r_{3} em P.A. de razão d. Então existe um valor a tal que
r_{1}=a-d,\quad r_{2}=a,\quad r_{3}=a+d.

Passo 3

Pela relação de Viète para soma das raízes de um polinômio monico temos
r_{1}+r_{2}+r_{3}=9.
Substituindo as expressões em a e d:
(a-d)+a+(a+d)=3a=9
logo a=3.

Passo 4

Pela relação de Viète para o produto das raízes de um cúbico monico:
r_{1}\,r_{2}\,r_{3}=15.
Substituindo r_{1}=3-d, r_{2}=3, r_{3}=3+d
(3-d)\cdot3\cdot(3+d)=3\bigl(9-d^{2}\bigr)=15.
Isso leva a
27-3d^{2}=15\quad\Longrightarrow\quad3d^{2}=12\quad\Longrightarrow\quad d^{2}=4.

Passo 5

Da equação d^{2}=4 obtemos d=\pm2. Assim as três raízes são
3-2,\;3,\;3+2
isto é
1,\;3,\;5.

Resposta

As raízes da equação são 1, 3 e 5.

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