Quais os valores de m e n para que a equação algébrica
x^{7}-5 x^{6}+4 x^{5}-3 x^{4}+2 x^{3}+(m-5 n) x^{2}+\left(\frac{3}{5} m-n+2\right) x+(5-m n)=0
admita o valor 0 como raiz dupla?

Passo 1

O enunciado dá o polinômio de sétima ordem
P(x)=x^{7}-5x^{6}+4x^{5}-3x^{4}+2x^{3}+(m-5n)x^{2}+\Bigl(\tfrac{3}{5}m-n+2\Bigr)x+(5-mn)
e pede que 0 seja raiz dupla. Para isso precisamos de duas condições:
  1. P(0)=0 (para ser raiz)
  2. P'(0)=0 (para ser raiz de multiplicidade ao menos 2)

Passo 2

Aplicando P(0)=0, obtemos
P(0)=5-mn=0
Logo
mn=5.

Passo 3

Agora calculamos a derivada
P'(x)=7x^{6}-30x^{5}+20x^{4}-12x^{3}+6x^{2}+2(m-5n)\,x+\bigl(\tfrac{3}{5}m-n+2\bigr),
e impomos P'(0)=0. Assim
P'(0)=\tfrac{3}{5}m-n+2=0
e daí
n=\tfrac{3}{5}m+2.

Passo 4

Substituindo n=\tfrac{3}{5}m+2 na relação mn=5, vem
m\Bigl(\tfrac{3}{5}m+2\Bigr)=5 \;\Longrightarrow\; \tfrac{3}{5}m^{2}+2m-5=0 \;\Longrightarrow\; 3m^{2}+10m-25=0.
Resolvendo:
m=\frac{-10\pm\sqrt{100+300}}{6} =\frac{-10\pm20}{6} \;\Longrightarrow\; m=\frac{5}{3}\quad\text{ou}\quad m=-5.

Passo 5

Para cada valor de m, usamos n=\tfrac{3}{5}m+2:
  • Se m=\tfrac{5}{3}, então n=1+2=3.
  • Se m=-5, então n=-3+2=-1.

Resposta

(m,n)=(\tfrac{5}{3},3) ou (m,n)=(-5,-1).

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