Sendo a, b, c as soluções da equação algébrica 2 x^{3}-3 x^{2}+5 x-1=0, calcule o valor da expressão a^{2} b^{2}+a^{2} c^{2}+b^{2} c^{2}.

Passo 1

O enunciado diz que a,b,c são as raízes da equação
2x^{3}-3x^{2}+5x-1=0
e pede o valor de a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}.
O conteúdo que vamos usar são as relações de Viète para somas simétricas de raízes e uma identidade que expressa a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} em termos dessas somas.

Passo 2

Primeiro deixamos o polinômio monico, dividindo tudo por 2:
x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}+\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}=0.
Pelas relações de Viète, definindo
S_{1}=a+b+c,\quad S_{2}=ab+bc+ca,\quad S_{3}=abc,
temos
S_{1}=\frac{3}{2},\quad S_{2}=\frac{5}{2},\quad S_{3}=\frac{1}{2}.

Passo 3

Usamos a identidade das somas simétricas:
a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} =(ab+bc+ca)^{2}-2\,abc\,(a+b+c).

Passo 4

Substituindo S_{1},S_{2},S_{3} na identidade:
a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} =\Bigl(\frac{5}{2}\Bigr)^{2}-2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2} =\frac{25}{4}-\frac{3}{2} =\frac{25}{4}-\frac{6}{4} =\frac{19}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{19}{4}

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