Encontre uma solução geral para a equação x^2 d^2 yd x^2-3 x d yd x+3 y=2 x^4 e^x;

Passo 1

Na questão, precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial de Euler–Cauchy
que é dada por
x^2y''-3x y'+3y=2x^4e^x.
Para isso, vamos usar dois ingredientes: resolver a parte homogênea (Euler–Cauchy) e depois aplicar variação de parâmetros para o termo não homogêneo.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea associada
x^2y''-3x y'+3y=0.
Assumimos uma solução do tipo y=x^m e substituímos na equação:

Passo 3

x^2cdot m(m-1)x^m-2-3xcdot m x^m-1+3x^m=0
que leva ao polinômio característico
m(m-1)-3m+3=0
cuja resolução dá as raízes m=1 e m=3.

Passo 4

Daí a solução geral da parte homogênea é
yh(x)=C1x+C2x^3

Passo 5

Para lidar com o termo não homogêneo, dividimos a equação original por x^2 e colocamos na forma padrão
y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x). Obtemos
y''-3xy'+3x^2y=2x^2e^x

Passo 6

Agora aplicamos variação de parâmetros usando as soluções fundamentais y1=x e y2=x^3.
O Wronskiano é
W=detx & x^31 & 3x^2=2x^3

Passo 7

As fórmulas de variação de parâmetros dão
u1'=-y2RW, u2'=y1RW
Substituindo R=2x^2e^x, temos
u1'=-x^2e^x, u2'=e^x

Passo 8

Integramos para achar nu1 e nu2:
nu1=-integral x^2e^xdx=-(x^2-2x+2)e^x, nu2=integral e^xdx=e^x

Passo 9

Construímos a solução particular
yp=nu1y1+nu2y2=-(x^2-2x+2)e^xcdot x+e^xcdot x^3
que se simplifica para
yp=2x(x-1)e^x

Resposta

y(x)=C1x+C2x^3+2x(x-1)e^x

Exercícios relacionados