Encontre uma solução geral para a equação
;
Passo 1
Na questão, precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial de Euler–Cauchy
que é dada por
.
Para isso, vamos usar dois ingredientes: resolver a parte homogênea (Euler–Cauchy) e depois aplicar variação de parâmetros para o termo não homogêneo.
que é dada por
Para isso, vamos usar dois ingredientes: resolver a parte homogênea (Euler–Cauchy) e depois aplicar variação de parâmetros para o termo não homogêneo.
Passo 2
Começamos pela equação homogênea associada
.
Assumimos uma solução do tipo e substituímos na equação:
Assumimos uma solução do tipo
Passo 3
que leva ao polinômio característico
cuja resolução dá as raízes
e
.
Passo 4
Daí a solução geral da parte homogênea é
Passo 5
Para lidar com o termo não homogêneo, dividimos a equação original por
e colocamos na forma padrão
. Obtemos
Passo 6
Agora aplicamos variação de parâmetros usando as soluções fundamentais
e
.
O Wronskiano é
O Wronskiano é
Passo 7
As fórmulas de variação de parâmetros dão
Substituindo
, temos
Passo 8
Integramos para achar
e
:
Passo 9
Construímos a solução particular
que se simplifica para