Resolva a equação x y'' + y' = 1 para x > 0.
R: y = c1 ln x + c2 + x
2 / 2

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial para . Esse problema faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, precisamos entender conceitos como derivadas e métodos para solucionar equações diferenciais não homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por (já que ):
Isso transforma a equação em uma forma mais manejável.

Passo 3

Observamos que a equação é linear e pode ser escrita na forma padrão:
No nosso caso, , e .

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea ( ) e uma solução particular da equação completa.

Passo 5

Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
Essa é uma equação de Cauchy-Euler, cuja solução geral é:
onde e são constantes de integração.

Passo 6

Agora, encontramos uma solução particular ( ) para a equação completa:
Vamos supor que , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 7

Calculamos as derivadas de :
Substituindo na equação:
Isso nos dá , portanto, .

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

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