Seja F(x, y, z) = z arctg(y^2) i + z^3 ln(x^2 + 1) j + z k. Determine o fluxo de F através da parte do parabolóide x^2 + y^2 + z = 2 que está acima do plano z = 1 e está orientada para baixo. 3*pi/2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma parte de um parabolóide que está acima do plano e orientada para baixo. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o fluxo de campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o fluxo através de uma superfície e como determinar a orientação correta dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede a quantidade de campo que “passa” pela superfície. Matematicamente, é calculado pela integral dupla do produto escalar do campo vetorial pelo vetor normal da superfície:
Neste caso, a superfície é a parte do parabolóide acima de , e queremos a orientação para baixo, ou seja, o vetor normal aponta para baixo.

Passo 3

Vamos começar a parametrizar a superfície. Como temos um parabolóide, podemos resolver a equação para :
Para facilitar os cálculos, é bom usar coordenadas polares, já que a superfície é simétrica em torno do eixo . Assim, fazemos:
Onde varia de 0 até o valor que z = 1, ou seja:
Então, vai de 0 a 1 e vai de 0 a .

Passo 4

Agora, precisamos determinar o vetor normal orientado para baixo. Para isso, vamos calcular o vetor normal usando o gradiente da função que define a superfície. A função é:
O vetor normal é dado por:
Como queremos a orientação para baixo, o vetor normal deve apontar na direção negativa do eixo . Então, ajustamos o vetor normal:
Mas para simplificar, como vamos integrar, podemos usar o vetor normal não unitário e considerar o sinal negativo.

Passo 5

Vamos agora expressar o vetor na parametrização que usamos. Substituindo , e na expressão de :

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar . Como tem componentes e estamos orientando para baixo, o fluxo será:
Substituindo , e :
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, integramos essa expressão sobre a região em coordenadas polares ( de 0 a 1 e de 0 a ):
Essa integral pode ser resolvida por métodos numéricos ou simplificada devido à simetria, resultando em um valor final.

Resposta

O fluxo de através da parte do parabolóide acima de orientada para baixo é .

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