Resolva as equações usando o método de variação dos parâmetros:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicar o método de variação dos parâmetros para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos as raízes características da equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa usando o método de variação dos parâmetros. Sabemos que a solução homogênea é:
Primeiro, calculamos as derivadas de
:
Agora, aplicamos o método de variação dos parâmetros, onde as constantes
e
são substituídas por funções
e
:
Derivamos
e substituímos na equação diferencial para encontrar
e
.
Passo 4
Após realizar os cálculos e integrações necessárias, obtemos as funções
e
. Substituindo esses valores na expressão de
, encontramos a solução particular.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: