Resolva a equação x y^prime-4 x^2 y+2 y ln (y)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem não linear
x,y'-4x^2y+2yln(y)=0,
que envolve o termo ln(y). Vamos usar teoria de EDOs não lineares e a substituição u=ln(y).

Passo 2

Definindo u(x)=ln(y(x)), temos y=e^u e
y'=y,u'
Substituindo na equação original:
x(y,u')-4x^2y+2y,u=0
Dividindo por y:
xu'-4x^2+2u=0

Passo 3

Reescrevendo como equação linear em u:
xu'+2u=4x^2
ou, dividindo por x:
u'+2xu=4x
Aqui aplicamos o método da equação linear de primeiro grau.

Passo 4

Calculamos o fator integrante
mu(x)=e^integral2xdx=x^2
Multiplicando toda a equação por x^2 resulta em
ddx(x^2u)=4x^3
Integrando ambos os lados:

Passo 5

x^2u=integral4x^3dx=x^4+C, C constante
Logo
u= x^2+Cx^-2

Passo 6

Voltando a y, como u=ln(y), temos
y=e^u=expl(x^2+Cx^-2r)

Resposta

y=expl(x^2+Cx^-2r)

Exercícios relacionados