Resolva
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é $ y = e^{x} - x y’ $ com a condição inicial $ y(1) = 1 $. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar $ y’ $:
Vamos mover $ x y’ $ para o outro lado:
Agora, dividimos tudo por $ x $ para deixar $ y’ $ sozinho:
Isso fica na forma padrão de uma equação diferencial linear:
onde $ P(x) = \frac{1}{x} $ e $ Q(x) = \frac{e^{x}}{x} $.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
Substituindo $ P(x) $:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(x) = x $:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto $ \mu(x) y $:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a $ x $:
Isso resulta em:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Isolamos $ y $ para encontrar a solução geral:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial $ y(1) = 1 $ para encontrar $ C $:
Passo 8
Substituímos $ C $ na solução geral:
Resposta
A solução da equação diferencial é: