Resolva
y=e^x-x y^prime, y(1)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é $ y = e^{x} - x y’ $ com a condição inicial $ y(1) = 1 $. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar $ y’ $:
y'
Vamos mover $ x y’ $ para o outro lado:
y = e^x - x y'
Agora, dividimos tudo por $ x $ para deixar $ y’ $ sozinho:
x y'
Isso fica na forma padrão de uma equação diferencial linear:
x y' = e^x - y
onde $ P(x) = \frac{1}{x} $ e $ Q(x) = \frac{e^{x}}{x} $.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
mu(x)
Substituindo $ P(x) $:
mu(x) = e^integral P(x) dx

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(x) = x $:
mu(x) = x
O lado esquerdo agora é a derivada do produto $ \mu(x) y $:
x y' + y = e^x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a $ x $:
x
Isso resulta em:
integral ddx (x y) dx = integral e^x dx
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos $ y $ para encontrar a solução geral:
y

Passo 7

Aplicamos a condição inicial $ y(1) = 1 $ para encontrar $ C $:
y(1) = 1
C
1 = e^1 + C1

Passo 8

Substituímos $ C $ na solução geral:
C

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = e^x + 1 - ex

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