Resolva a equação diferencial:
y^prime prime-x y=x^3, y(0)=0, y^prime(0)=1
Utilize séries de potências.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y'' - x,y = x^3 com as condições y(0)=0 e y'(0)=1 usando séries de potências. Vamos desenvolver y(x) como y=sumn=0^inftyan x^n e encontrar os coeficientes an recorrendo à forma em série da equação.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as derivadas também em série:
y'=sumn=0^infty(n+1)an+1x^n,
y''=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n

Passo 3

Substituímos essas séries em y''-xy=x^3. Do lado esquerdo temos
sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n - xsumn=0^infty an x^n =sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n -sumn=0^infty an x^n+1

Passo 4

Reindexamos o segundo somatório para alinhar potências de x^n. Observamos que o termo de x^n satisfaz
(n+2)(n+1)an+2-an-1=1,&n=3,0,&nneq3
Isso gera a relação de recorrência para n>=0.

Passo 5

Das condições iniciais tiramos a0=y(0)=0 e a1=y'(0)=1. Para n=0,1,2,3 podemos já achar:
  • n=0: 2cdot1,a2-0=0implies a2=0
  • n=1: 3cdot2,a3-a0=0implies a3=0
  • n=2: 4cdot3,a4-a1=0implies a4=1/12
  • n=3: 5cdot4,a5-a2=1implies20a5=1implies a5=1/20

Passo 6

Para n>=4 e nneq3 a relação geral vale sem o termo da fonte, ou seja
an+2=an-1(n+2)(n+1)
Com isso encontramos iterativamente:
  • a6=0, a7=0,
  • a8=tfraca58cdot7=tfrac1/2056=1/672,
  • a9=tfraca69cdot8=0? Na verdade como a6=0 isso dá zero, mas o próximo coeficiente não nulo é a11 e assim por diante.

Passo 7

Reunindo os termos não nulos que já calculamos, a série fica
y(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4+a5x^5+a8x^8+dots
ou seja
y(x)=x+x^412+x^520+x^8672+cdots

Passo 8

Em resumo, a solução em série é
a0=0, a1=1, a2=0, a3=0,
an+2=an-1(n+2)(n+1),(nneq3),
com o termo especial a5=1/20. A partir daí, basta usar a recorrência para obter quantos termos quisermos.

Resposta

y(x)=x+\frac{x4}{12}+\frac{x5}{20}+\frac{x^8}{672}+\cdots
com
a0=0, a1=1, an+2=an-1(n+2)(n+1) (nneq3),\ne o termo especial de fonte em a5=1/20.

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