Resolva a equação diferencial:
Utilize séries de potências.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
com as condições
e
usando séries de potências. Vamos desenvolver
como
e encontrar os coeficientes
recorrendo à forma em série da equação.
Passo 2
Primeiro, escrevemos as derivadas também em série:
Passo 3
Substituímos essas séries em
. Do lado esquerdo temos
Passo 4
Reindexamos o segundo somatório para alinhar potências de
. Observamos que o termo de
satisfaz
Isso gera a relação de recorrência para
.
Passo 5
Das condições iniciais tiramos
e
. Para
podemos já achar:
Passo 6
Para
e
a relação geral vale sem o termo da fonte, ou seja
Com isso encontramos iterativamente:
-
-
-
Na verdade como isso dá zero, mas o próximo coeficiente não nulo é e assim por diante.
Passo 7
Reunindo os termos não nulos que já calculamos, a série fica
ou seja
Passo 8
Em resumo, a solução em série é
com o termo especial
. A partir daí, basta usar a recorrência para obter quantos termos quisermos.
Resposta
y(x)=x+\frac{x4}{12}+\frac{x5}{20}+\frac{x^8}{672}+\cdots
com
com