Resolva a equação:
y^prime prime prime-3 y^prime prime+3 y^prime-y=x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de terceira ordem linear com coeficientes constantes
y'''-3y''+3y'-y = x^2
O conteúdo é EDO linear de coeficientes constantes. Vamos precisar achar a solução geral homogênea via equação característica e depois um particular para o termo polinomial.

Passo 2

Pra achar a solução homogênea, montamos a equação característica:
r^3 - 3r^2 + 3r - 1 = 0
Reconhecemos que isso é (r-1)^3=0, logo a raiz é r=1 de multiplicidade 3. Pela teoria de EDOs lineares, a solução homogênea fica
yh = (C1 + C2 x + C3 x^2)e^x

Passo 3

Como o lado direito é um polinômio de grau 2 e 0 não é raiz da característica, supomos uma solução particular do tipo
yp = Ax^2 + Bx + C
Calculamos as derivadas:
yp' = 2Ax + B,
yp'' = 2A,
yp''' = 0

Passo 4

Substituímos em y''' -3y'' +3y' -y:
yp''' - 3yp'' + 3yp' - yp = 0 - 3(2A) + 3(2Ax+B) - (Ax^2+Bx+C)
Que se simplifica para
- Ax^2 + (6A - B)x + (-6A + 3B - C)
Isso deve ser igual a x^2, então igualamos coeficientes:

Passo 5

-A = 1, 6A - B = 0, -6A + 3B - C = 0
Resolvendo, obtemos A=-1, B=-6 e C=-12.

Passo 6

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular, ou seja:
y(x) = (C1 + C2 x + C3 x^2)e^x - x^2 - 6x - 12

Resposta

y(x) = (C_1 + C_2 x + C_3 x2)ex - x^2 - 6x - 12

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