Resolva a equação:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de terceira ordem linear com coeficientes constantes
O conteúdo é EDO linear de coeficientes constantes. Vamos precisar achar a solução geral homogênea via equação característica e depois um particular para o termo polinomial.
Passo 2
Pra achar a solução homogênea, montamos a equação característica:
Reconhecemos que isso é
, logo a raiz é
de multiplicidade 3. Pela teoria de EDOs lineares, a solução homogênea fica
Passo 3
Como o lado direito é um polinômio de grau 2 e 0 não é raiz da característica, supomos uma solução particular do tipo
Calculamos as derivadas:
Passo 4
Substituímos em
:
Que se simplifica para
Isso deve ser igual a
, então igualamos coeficientes:
Passo 5
Resolvendo, obtemos
,
e
.
Passo 6
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular, ou seja:
Resposta
y(x) = (C_1 + C_2 x + C_3 x2)ex - x^2 - 6x - 12